题目
设 y = y ( x ) 满足 +dfrac (1)(2sqrt {x)}y=2+sqrt (x), y(1)=3,求 y = y ( x ) 的渐近 线
设 y = y ( x ) 满足 
,
求 y = y ( x ) 的渐近 线
题目解答
答案
解：一阶线性非齐次微分方程标准形式为
本题
则
对于上式积分中含根号不好解决，我们可另
则
此时可使用分部积分法
本题使用公式法计算微分方程，不用再加C
∴
∵y(1)=3 ∴
∴
然后我们就可以求渐近线了
（1）首先看是否有斜渐近线，可设渐近线为y=kx+b
则
由y=kx+b可得斜渐近线为：
（2）然后讨论水平渐近线
∴y = y ( x ) 不存在水平渐近 线
（3）最后讨论垂直渐近线
∵不存在x→b, limf(x)=∞，故不存在垂直渐近线
∴y = y ( x ) 的渐近 线为y=kx
故答案为y=2x
解析
步骤 1：求解微分方程
给定的微分方程为 $y' + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}y = 2 + \sqrt{x}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解其对应的齐次方程 $y' + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}y = 0$，然后使用常数变易法求解非齐次方程。
步骤 2：求解齐次方程
齐次方程的通解为 $y = Ce^{-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx} = Ce^{-\sqrt{x}}$。
步骤 3：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $y = u(x)e^{-\sqrt{x}}$，代入原方程求解 $u(x)$，得到 $u(x) = 2x + C$。因此，原方程的通解为 $y = (2x + C)e^{-\sqrt{x}}$。
步骤 4：确定常数C
由初始条件 $y(1) = 3$，代入通解求得 $C = e$，因此 $y = (2x + e)e^{-\sqrt{x}}$。
步骤 5：求渐近线
（1）斜渐近线：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ 和 $\lim_{x \to \infty} (y - kx)$，得到斜渐近线为 $y = 2x$。
（2）水平渐近线：计算 $\lim_{x \to \infty} y$，得到不存在水平渐近线。
（3）垂直渐近线：计算 $\lim_{x \to b} y$，得到不存在垂直渐近线。
给定的微分方程为 $y' + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}y = 2 + \sqrt{x}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解其对应的齐次方程 $y' + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}y = 0$，然后使用常数变易法求解非齐次方程。
步骤 2：求解齐次方程
齐次方程的通解为 $y = Ce^{-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx} = Ce^{-\sqrt{x}}$。
步骤 3：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $y = u(x)e^{-\sqrt{x}}$，代入原方程求解 $u(x)$，得到 $u(x) = 2x + C$。因此，原方程的通解为 $y = (2x + C)e^{-\sqrt{x}}$。
步骤 4：确定常数C
由初始条件 $y(1) = 3$，代入通解求得 $C = e$，因此 $y = (2x + e)e^{-\sqrt{x}}$。
步骤 5：求渐近线
（1）斜渐近线：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ 和 $\lim_{x \to \infty} (y - kx)$，得到斜渐近线为 $y = 2x$。
（2）水平渐近线：计算 $\lim_{x \to \infty} y$，得到不存在水平渐近线。
（3）垂直渐近线：计算 $\lim_{x \to b} y$，得到不存在垂直渐近线。