题目

例11、若A_(mtimes n)B_(ntimes l)=C_(mtimes l)，且r(A)=n，证明r(B)=r(C)

例11、若$A_{m\times n}B_{n\times l}=C_{m\times l}$，且r(A)=n，证明r(B)=r(C)

题目解答

答案

设 $ A_{m \times n} $ 列满秩，即 $ r(A) = n $，且 $ A B_{n \times l} = C_{m \times l} $。

  1. 秩的不等式：
    由秩的性质，$ r(C) = r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) = \min(n, r(B)) = r(B) $，故 $ r(C) \leq r(B) $。

  2. 列满秩的性质：
    由于 $ A $ 列满秩，存在伪逆 $ A^+ $ 满足 $ A^+ A = I_n $，则 $ B = A^+ C $。
    对两边取秩，得 $ r(B) \leq r(C) $。

结论：
综合上述，$ r(B) = r(C) $。

$\boxed{r(B) = r(C)}$