题目

在 4 阶行列式 D 的展开式中，项 a_(13)a_(21)a_(34)a_(42) 的列标的逆序数是 _______，该项前应该冠以____号（填“正”或“负”）。

在 4 阶行列式 $D$ 的展开式中，项 $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$ 的列标的逆序数是 _______，该项前应该冠以____号（填“正”或“负”）。

题目解答

答案

我们来逐步分析这个关于 4 阶行列式展开式中某一项的列标逆序数 和 符号 的问题。

一、题目回顾

在 4 阶行列式 $ D = \det(a_{ij}) $ 的展开式中，有一项是：

$a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$

我们需要回答两个问题：

  1. 这一项的列标的逆序数是多少？
  2. 这一项前应冠以 正号 还是 负号？

二、行列式展开的基本知识

一个 $ n $ 阶行列式展开式中的一般项为：

$(-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$

或者更一般地，也可以写成按行排列的乘积，其中每一项是 不同行不同列 的元素的乘积。

通常我们按行标自然顺序排列来写项，即行标为 $1,2,3,4$ 的顺序，然后列标构成一个排列。

三、分析给定项：$ a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} $

我们观察每一项的行标和列标：

  • $ a_{13} $：第1行，第3列
  • $ a_{21} $：第2行，第1列
  • $ a_{34} $：第3行，第4列
  • $ a_{42} $：第4行，第2列

所以，这项中：

  • 行标依次为：1, 2, 3, 4（自然顺序）
  • 列标依次为：3, 1, 4, 2

即列标排列为：3, 1, 4, 2

四、计算列标排列的逆序数

我们来计算排列 $ (3, 1, 4, 2) $ 的逆序数。

所谓逆序数，就是在这个排列中，前面的数比后面的数大，这样的数对的个数。

我们逐个分析：

  1. 第一个数是 3：

    • 比 1 大 → 1 个逆序
    • 比 4 小 → 无逆序
    • 比 2 大 → 1 个逆序
    • 小计：2 个逆序

  2. 第二个数是 1：

    • 比 4 小 → 无
    • 比 2 小 → 无
    • 小计：0 个逆序

  3. 第三个数是 4：

    • 比 2 大 → 1 个逆序
    • 小计：1 个逆序

  4. 第四个数是 2：后面无数，0 个

总逆序数：$ 2 + 0 + 1 = 3 $

五、确定符号

行列式中某一项的符号由列标排列的奇偶性决定：

  • 逆序数为偶数 → 正号
  • 逆序数为奇数 → 负号

这里逆序数是 3，是奇数，所以符号为 负号。

六、答案

  1. 列标的逆序数是：3
  2. 该项前应冠以：负号

✅ 最终答案：

列标的逆序数是 $ \boxed{3} $，该项前应该冠以 $ \boxed{\text{负}} $ 号。

解析

考查要点：本题主要考查行列式展开式中某一项的列标逆序数计算及符号判断。
解题思路：

  1. 确定列标排列：根据题目中给出的元素，提取各元素的列标，形成排列。
  2. 计算逆序数：逐个元素统计其后比它小的元素个数，总和即为逆序数。
  3. 判断符号：根据逆序数的奇偶性确定符号（偶数为正，奇数为负）。

关键点：

  • 列标排列的提取：需注意元素的行标按自然顺序排列时，列标构成的排列。
  • 逆序数的计算：需逐个元素分析其后比它小的元素个数，避免遗漏或重复。

1. 确定列标排列

题目中的项为 $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$，其行标依次为 $1,2,3,4$，对应的列标依次为 $3,1,4,2$。因此，列标排列为 $(3,1,4,2)$。

2. 计算逆序数

逐个元素分析其后比它小的元素个数：

  • 第一个元素 $3$：
    • 后面的元素为 $1,4,2$，其中 $3 > 1$ 和 $3 > 2$，共 $2$ 个逆序。
  • 第二个元素 $1$：
    • 后面的元素为 $4,2$，均不小于 $1$，无逆序。
  • 第三个元素 $4$：
    • 后面的元素为 $2$，$4 > 2$，共 $1$ 个逆序。
  • 第四个元素 $2$：
    • 无后续元素，无逆序。
      总逆序数为 $2 + 0 + 1 = 3$。

3. 判断符号

逆序数为 $3$（奇数），因此该项前冠以 负号。