题目
如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求感应电流的最大值．x x x x x-|||-x x x x-|||-x x B x x x x x-|||-r-|||-x x x x x x-|||-x x x x-|||-x x x x-|||-x x x x ×-|||-x x x x x x x x x-|||-x x x x x x x
如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求感应电流的最大值．
题目解答
答案
Imax=π2fBr2R
解析
步骤 1：确定导线旋转产生的感应电动势
半圆形导线在磁场中旋转时，会产生感应电动势。根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。对于半圆形导线，其旋转产生的感应电动势可以表示为：
\[ \varepsilon = \frac{d\Phi}{dt} \]
其中，$\Phi$ 是通过导线的磁通量，$t$ 是时间。由于导线以频率$f$旋转，其角速度$\omega = 2\pi f$。因此，磁通量的变化率与导线旋转的角速度有关。
步骤 2：计算磁通量的变化率
对于半圆形导线，其旋转产生的磁通量变化率可以表示为：
\[ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2 B \cos(\omega t)) = -\pi r^2 B \omega \sin(\omega t) \]
其中，$B$ 是磁场的磁感应强度，$\omega t$ 是导线旋转的角度。因此，感应电动势的最大值为：
\[ \varepsilon_{max} = \pi r^2 B \omega = \pi r^2 B (2\pi f) = 2\pi^2 f r^2 B \]
步骤 3：计算感应电流的最大值
根据欧姆定律，感应电流的最大值可以表示为：
\[ I_{max} = \frac{\varepsilon_{max}}{R} = \frac{2\pi^2 f r^2 B}{R} \]
半圆形导线在磁场中旋转时，会产生感应电动势。根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。对于半圆形导线，其旋转产生的感应电动势可以表示为：
\[ \varepsilon = \frac{d\Phi}{dt} \]
其中，$\Phi$ 是通过导线的磁通量，$t$ 是时间。由于导线以频率$f$旋转，其角速度$\omega = 2\pi f$。因此，磁通量的变化率与导线旋转的角速度有关。
步骤 2：计算磁通量的变化率
对于半圆形导线，其旋转产生的磁通量变化率可以表示为：
\[ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2 B \cos(\omega t)) = -\pi r^2 B \omega \sin(\omega t) \]
其中，$B$ 是磁场的磁感应强度，$\omega t$ 是导线旋转的角度。因此，感应电动势的最大值为：
\[ \varepsilon_{max} = \pi r^2 B \omega = \pi r^2 B (2\pi f) = 2\pi^2 f r^2 B \]
步骤 3：计算感应电流的最大值
根据欧姆定律，感应电流的最大值可以表示为：
\[ I_{max} = \frac{\varepsilon_{max}}{R} = \frac{2\pi^2 f r^2 B}{R} \]