题目
设幂级数sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x-2))^n在sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x-2))^n处收敛，则此幂级数在sum _(n=1)^infty (a)_(n)((x-2))^n处( ).A.一定发散 B.一定条件收敛C.一定绝对收敛 D.敛散性不能判定
设幂级数
在
处收敛，则此幂级数在
处( ).
A.一定发散 B.一定条件收敛
C.一定绝对收敛 D.敛散性不能判定
题目解答
答案
设幂级数的收敛半径为
，即该幂级数在
时绝对收敛,在
R" data-width="103" data-height="26" data-size="1326" data-format="png" style="max-width:100%">时发散.
由于级数在处收敛，故
，即
.
而
,故幂级数在处绝对收敛.
因此，答案为
.
解析
步骤 1：确定幂级数的收敛半径
幂级数$\sum _{i=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-2)}^{n}$的收敛半径为$R$，即该幂级数在$|x-2|R$时发散。
步骤 2：利用已知条件确定收敛半径的下限
由于级数在$x=-2$处收敛，故$|-2-2|\leqslant R$，即$4\leqslant R$。
步骤 3：判断幂级数在$x=5$处的敛散性
由于$|5-2|=3
幂级数$\sum _{i=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-2)}^{n}$的收敛半径为$R$，即该幂级数在$|x-2|
步骤 2：利用已知条件确定收敛半径的下限
由于级数在$x=-2$处收敛，故$|-2-2|\leqslant R$，即$4\leqslant R$。
步骤 3：判断幂级数在$x=5$处的敛散性
由于$|5-2|=3