题目
设的概率密度为求（1）的分布函数；（2）的概率密度。
设
的概率密度为
求
（1）的分布函数；
（2）
的概率密度。
题目解答
答案
由题意，的概率密度为
（1）
，
故
，即
。
（2）
，
故
，
当
或者
，即
或者
，
；
当
，即
，
，所以
。
解析
步骤 1：求X的分布函数
根据概率密度函数f(x)的定义，分布函数F(x)是f(x)在区间(-∞, x]上的积分。对于给定的概率密度函数f(x)，我们需要分段计算分布函数F(x)。
步骤 2：计算分布函数F(x)的各段
- 当x < 0时，f(x) = 0，因此F(x) = 0。
- 当0 ≤ x < 1时，F(x) = ∫_{0}^{x} 3t^2 dt。
- 当x ≥ 1时，f(x) = 0，因此F(x) = 1。
步骤 3：计算Y=3X-2的概率密度
首先，求出Y的分布函数F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(3X - 2 ≤ y) = P(X ≤ (y + 2)/3) = F_X((y + 2)/3)。然后，根据分布函数F_Y(y)求出概率密度函数f_Y(y)。
根据概率密度函数f(x)的定义，分布函数F(x)是f(x)在区间(-∞, x]上的积分。对于给定的概率密度函数f(x)，我们需要分段计算分布函数F(x)。
步骤 2：计算分布函数F(x)的各段
- 当x < 0时，f(x) = 0，因此F(x) = 0。
- 当0 ≤ x < 1时，F(x) = ∫_{0}^{x} 3t^2 dt。
- 当x ≥ 1时，f(x) = 0，因此F(x) = 1。
步骤 3：计算Y=3X-2的概率密度
首先，求出Y的分布函数F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(3X - 2 ≤ y) = P(X ≤ (y + 2)/3) = F_X((y + 2)/3)。然后，根据分布函数F_Y(y)求出概率密度函数f_Y(y)。