题目
求过点P(-1,-4,3)并与直线P(-1,-4,3)都平行的平面方程.
求过点
并与直线
都平行的平面方程.
题目解答
答案
易知直线
为两个平面
的交线，平面
的法向量分别为
，故直线
的方向向量为
易知直线
的方向向量为
∵所求平面与直线
都平行
∴所求平面的一个法向量可取
又∵所求平面过点
∴所求平面方程为
即
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
易知直线为两个平面$1:2x-4y+z=1$ ${T}_{2}:x+3y+5=0$的交线，平面π1,π2的法向量分别为${z}_{1}=(2,-4,1)$ $\overrightarrow {{n}_{2}}=(1,3,0)$，故直线L1的方向向量为${\overrightarrow {n}}_{1}=\overrightarrow {{n}_{1}}\times \overrightarrow {{n}_{2}}=(-3,1,10)$
步骤 2：确定另一个直线的方向向量
易知直线的方向向量为${x}_{2}=(4,-1,2)$
步骤 3：确定所求平面的法向量
由于所求平面与直线L1,L2都平行，故所求平面的一个法向量可取$\overrightarrow {{e}_{1}}=\overrightarrow {{s}_{1}}\times \overrightarrow {{s}_{2}}=(12,46,-1)$
步骤 4：确定所求平面方程
由于所求平面过点P(-1,-4,3)，故所求平面方程为$12(x+1)+46(y+4)-(z-3)=0$，即$12x+46y-z+199=0$。
易知直线为两个平面$1:2x-4y+z=1$ ${T}_{2}:x+3y+5=0$的交线，平面π1,π2的法向量分别为${z}_{1}=(2,-4,1)$ $\overrightarrow {{n}_{2}}=(1,3,0)$，故直线L1的方向向量为${\overrightarrow {n}}_{1}=\overrightarrow {{n}_{1}}\times \overrightarrow {{n}_{2}}=(-3,1,10)$
步骤 2：确定另一个直线的方向向量
易知直线的方向向量为${x}_{2}=(4,-1,2)$
步骤 3：确定所求平面的法向量
由于所求平面与直线L1,L2都平行，故所求平面的一个法向量可取$\overrightarrow {{e}_{1}}=\overrightarrow {{s}_{1}}\times \overrightarrow {{s}_{2}}=(12,46,-1)$
步骤 4：确定所求平面方程
由于所求平面过点P(-1,-4,3)，故所求平面方程为$12(x+1)+46(y+4)-(z-3)=0$，即$12x+46y-z+199=0$。