题目

计算定积分(int )_(0)^1dfrac (x)(x+1)sqrt (1-{x)^2}dx.

计算定积分 $\int_0^1\frac{x}{x+1}\sqrt{1-x^2}dx$ .

题目解答

答案

令 $I=\int_0^1\frac{x}{x+1}\sqrt{1-x^2}dx$ ，作变量代换 $x=\sin t,t\in[0,\frac{\pi}{2}]$ ，则 $dx=\cos tdt$ ，将其代入到I中得到：

$\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{\sin t+1}\cos tdt\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t\cos t}{\sin t+1}dt\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{2}\sin2t}{\sin t+1}dt \end{align*}$

然后使用分部积分法 $\int_{ }^{ }udv=uv-\int_{ }^{ }vdu$ ，对上式进行计算：

$\begin{align*} I&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2t}{\sin t+1}d(2t)\\ &=\frac{1}{2}(2t)\frac{\sin2t}{\sin t+1}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2t}{\sin t+1}d(\sin2t)\\ &=\frac{1}{2}(2t)\frac{\sin2t}{\sin t+1}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\sin t+1}d(\sin2t)\\ &=\frac{1}{2}(\pi)\frac{\sin\pi}{\sin\frac{\pi}{2}+1}-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin t+1}d(\sin t)\\ &=\frac{\pi}{2}\times0-2\ln|\sin t+1|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=0-2\ln(1+1)-2\ln(0+1)\\ &=-2\ln2-2\ln1\\ &=-2\ln2 \end{align*}$

综上， $\int_0^1\frac{x}{x+1}\sqrt{1-x^2}dx=-2\ln2$