题目
简答题（共15题，60.0分）19.（4.0分）计算题：int_(sqrt(3)a)^0(dx)/(a^2)+x^(2)
简答题（共15题，60.0分）
19.（4.0分）计算题：
$\int_{\sqrt{3}a}^{0}\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}$
题目解答
答案
利用标准积分公式 $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$，得
\[
\int_{\sqrt{3}a}^{0}\frac{dx}{a^{2}+x^{2}} = \left[ \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} \right]_{\sqrt{3}a}^{0} = \frac{1}{a} \left( \arctan 0 - \arctan \sqrt{3} \right) = \frac{1}{a} \left( 0 - \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{3a}.
\]
或者通过三角代换 $x = a \tan \theta$，积分上下限变为 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 到 $\theta = 0$，结果相同。
答案：$\boxed{-\frac{\pi}{3a}}$
解析
本题主要考查定积分的计算计算，涉及到基本积分公式的应用以及定积分的计算方法。
解题思路
- 回忆基本积分公式：对于积分$\int \fracfrac{dx}{a^2 + x^2}$，其原函数为$\frac{1}{a} \arctctan \frac{x}{a} + C$（$C$为常数）。
- 代入定积分上下限：定积分$\int_{\sqrt{3a}^{0} \frac{dx}{a^2 + x^2}$的计算需先求出原函数，再代入上限$0$和下限$\sqrt3a$作差。
- 计算原函数在上下限的值：
- 上限$x=0$时，$\arctan \frac{0}{a} = \arctan 0 = 0\0$；
-下限$x=\sqrt3a$时，$\arctan \frac{\sqrt3a}{a} = \arctan \sqrt3 = \frac{\pi}{3}$（因为$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\3$）。
- 上限$x=0$时，$\arctan \frac{0}{a} = \arctan 0 = 0\0$；
- 作差得到结果：$\frac{1}{a} \left( \arctan 0 - \arctan\sqrt3 \right) = \frac{1}{a} \left(0 - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3a}$。