如图所示,有一直径为d、质量为m的活塞浸在液体中并在力F的作用下处于静止状态。若液体的密度为rho_{}，活塞浸入深度为h,试确定液体在测压管内的上升高度x。
如图所示,有一直径为d、质量为m的活塞浸在液体中并在力F的作用下处于静止状态。若液体的密度为$$\rho_{}$$，活塞浸入深度为h,试确定液体在测压管内的上升高度x。
题目解答
答案
活塞受到的浮力大小：$$F_浮=G+F=mg+F$$；
活塞的底面积：$$S=\frac{\pi}{4}d^2$$
测压管内液面上升x，所以对活塞底部压强为：$$P=\rho g (x+h)$$
所以对活塞底部压力大小为：
活塞所受浮力是由底部受到水滴压力产生的：
即$$\rho g(x+h)\frac{\pi d^2}{4}=mg+F$$，解得：$$x=4\frac{mg+F}{\rho g}\pi d^2-h$$。
解析
考查要点：本题主要考查浮力的计算、压强与受力平衡的关系，以及如何将物理情境转化为数学方程。
解题核心思路：
- 受力平衡：活塞静止，说明所受合力为零，浮力需平衡重力和外力F的总和。
- 浮力本质：浮力由液体对活塞底部的压强差产生，需结合液体压强公式和活塞底面积计算。
- 测压管高度关联：测压管内液体上升高度x与活塞浸入深度h共同决定压强差。
破题关键点：
- 明确浮力表达式：$F_{\text{浮}} = mg + F$。
- 建立压强与浮力的关系：$F_{\text{浮}} = \rho g (x + h) \cdot S$，其中$S$为活塞底面积。
- 联立方程求解x，注意代数变形。
步骤1：分析受力平衡
活塞静止，受力平衡，向上的浮力$F_{\text{浮}}$等于向下的重力$mg$和外力$F$之和：
$F_{\text{浮}} = mg + F.$
步骤2：计算活塞底面积
活塞直径为$d$，底面积为：
$S = \frac{\pi d^2}{4}.$
步骤3：建立浮力与压强的关系
活塞底部压强由液体深度$(x + h)$决定：
$P = \rho g (x + h).$
浮力即为压强乘以底面积：
$F_{\text{浮}} = P \cdot S = \rho g (x + h) \cdot \frac{\pi d^2}{4}.$
步骤4：联立方程求解x
将步骤1和步骤3的浮力表达式联立：
$\rho g (x + h) \cdot \frac{\pi d^2}{4} = mg + F.$
整理得：
$x = \frac{4(mg + F)}{\rho g \pi d^2} - h.$