题目
过原点作曲线y=ex的切线，则切线方程为 ____ ．
过原点作曲线y=ex的切线，则切线方程为 ____ ．
题目解答
答案
解：y′=ex
设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，
则k=ex0，故切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）
又切线过原点，∴-ex0=ex0（-x0），∴x0=1，y0=e，k=e．
则切线方程为y=ex
故答案为y=ex．
设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，
则k=ex0，故切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）
又切线过原点，∴-ex0=ex0（-x0），∴x0=1，y0=e，k=e．
则切线方程为y=ex
故答案为y=ex．
解析
步骤 1：求导数
对函数y=e^{x}求导，得到y′=e^{x}。这是因为指数函数的导数等于其本身。
步骤 2：设切点
设切点的坐标为（x_0，e^{x0}），切线的斜率为k。根据导数的定义，切线的斜率k等于在切点处的导数值，即k=e^{x0}。
步骤 3：写出切线方程
根据点斜式方程，切线方程为y-e^{x0}=e^{x0}（x-x_0）。
步骤 4：利用切线过原点
由于切线过原点，将原点坐标（0,0）代入切线方程，得到0-e^{x0}=e^{x0}（0-x_0），从而解得x0=1。
步骤 5：确定切点和斜率
将x0=1代入y=e^{x}，得到y0=e。因此，切点坐标为（1，e），斜率为k=e。
步骤 6：写出最终的切线方程
将切点坐标和斜率代入点斜式方程，得到切线方程为y=ex。
对函数y=e^{x}求导，得到y′=e^{x}。这是因为指数函数的导数等于其本身。
步骤 2：设切点
设切点的坐标为（x_0，e^{x0}），切线的斜率为k。根据导数的定义，切线的斜率k等于在切点处的导数值，即k=e^{x0}。
步骤 3：写出切线方程
根据点斜式方程，切线方程为y-e^{x0}=e^{x0}（x-x_0）。
步骤 4：利用切线过原点
由于切线过原点，将原点坐标（0,0）代入切线方程，得到0-e^{x0}=e^{x0}（0-x_0），从而解得x0=1。
步骤 5：确定切点和斜率
将x0=1代入y=e^{x}，得到y0=e。因此，切点坐标为（1，e），斜率为k=e。
步骤 6：写出最终的切线方程
将切点坐标和斜率代入点斜式方程，得到切线方程为y=ex。