题目
一均匀物体(密度为常数1)占有的闭区域D由曲面z=x^2+y^2,|x|=1,|y|=1所围成,求物体的体积.()A. (4)/(3)B. (8)/(3)C. (2)/(3)D. (7)/(3)
一均匀物体(密度为常数1)占有的闭区域D由曲面$z=x^2+y^2$,$|x|=1$,$|y|=1$所围成,求物体的体积.()
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{7}{3}$
题目解答
答案
B. $\frac{8}{3}$
解析
步骤 1：确定积分区域
物体的体积由曲面 $z = x^2 + y^2$ 在区域 $D$ 上的二重积分计算，其中 $D$ 为正方形 $[-1, 1] \times [-1, 1]$。因此，我们需要计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA$。
步骤 2：计算二重积分
首先，我们对 $y$ 积分： \[ \int_{-1}^1 (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^1 = 2x^2 + \frac{2}{3} \] 然后，我们对 $x$ 积分： \[ \int_{-1}^1 \left( 2x^2 + \frac{2}{3} \right) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{2x}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{8}{3} \]
步骤 3：得出结论
根据上述计算，物体的体积为 $\frac{8}{3}$。
物体的体积由曲面 $z = x^2 + y^2$ 在区域 $D$ 上的二重积分计算，其中 $D$ 为正方形 $[-1, 1] \times [-1, 1]$。因此，我们需要计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dA$。
步骤 2：计算二重积分
首先，我们对 $y$ 积分： \[ \int_{-1}^1 (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^1 = 2x^2 + \frac{2}{3} \] 然后，我们对 $x$ 积分： \[ \int_{-1}^1 \left( 2x^2 + \frac{2}{3} \right) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{2x}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{8}{3} \]
步骤 3：得出结论
根据上述计算，物体的体积为 $\frac{8}{3}$。