题目
9.[单选题]xoy平面上积分弧段L=L1+L2关于L1和L2关于y轴对称，被积函数f(-x,y)=f(x,y)，则函数f(x,y)在曲线L上的第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)等于A. 2int_(L1)f(x,y)ds，或者2int_(L2)f(x,y)dsB. 0
9.[单选题]
xoy平面上积分弧段L=L1+L2关于L1和L2关于y轴对称，被积函数f(-x,y)=f(x,y)，则函数f(x,y)在曲线L上的第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)等于
A. 2$\int_{L1}f(x,y)ds$，或者2$\int_{L2}f(x,y)ds$
B. 0
题目解答
答案
A. 2$\int_{L1}f(x,y)ds$，或者2$\int_{L2}f(x,y)ds$
解析
步骤 1：理解第一类曲线积分的定义
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds + \int_{L_2} f(x, y) \, ds \] 其中，$L = L_1 + L_2$，$L_1$ 和 $L_2$ 是曲线 $L$ 的两个部分。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于 $L_1$ 和 $L_2$ 关于 $y$-轴对称，对于 $L_2$ 上的任意点 $(-x, y)$，在 $L_1$ 上都有一个对应的点 $(x, y)$。给定 $f(-x, y) = f(x, y)$，我们可以将 $\int_{L_2} f(x, y) \, ds$ 转换为 $\int_{L_1} f(-x, y) \, ds$。 因为 $ds$（弧长元素）在 $L_1$ 和 $L_2$ 上是相同的，所以：\[ \int_{L_2} f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(-x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds \]
步骤 3：计算第一类曲线积分
因此，第一类曲线积分可以写为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds + \int_{L_1} f(x, y) \, ds = 2 \int_{L_1} f(x, y) \, ds \] 同理，由于 $L_1$ 和 $L_2$ 的对称性，我们也可以写为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = 2 \int_{L_2} f(x, y) \, ds \]
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds + \int_{L_2} f(x, y) \, ds \] 其中，$L = L_1 + L_2$，$L_1$ 和 $L_2$ 是曲线 $L$ 的两个部分。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于 $L_1$ 和 $L_2$ 关于 $y$-轴对称，对于 $L_2$ 上的任意点 $(-x, y)$，在 $L_1$ 上都有一个对应的点 $(x, y)$。给定 $f(-x, y) = f(x, y)$，我们可以将 $\int_{L_2} f(x, y) \, ds$ 转换为 $\int_{L_1} f(-x, y) \, ds$。 因为 $ds$（弧长元素）在 $L_1$ 和 $L_2$ 上是相同的，所以：\[ \int_{L_2} f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(-x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds \]
步骤 3：计算第一类曲线积分
因此，第一类曲线积分可以写为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = \int_{L_1} f(x, y) \, ds + \int_{L_1} f(x, y) \, ds = 2 \int_{L_1} f(x, y) \, ds \] 同理，由于 $L_1$ 和 $L_2$ 的对称性，我们也可以写为：\[ \int_L f(x, y) \, ds = 2 \int_{L_2} f(x, y) \, ds \]