(7) lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-sqrt ({x)^2-x}) ;

考查要点：本题主要考查无穷远处函数极限的计算，特别是涉及根号相减的极限问题。关键在于通过有理化消除不定型，将表达式转化为可求极限的形式。

解题思路：当遇到形如$\sqrt{A} - \sqrt{B}$的表达式时，通常通过乘以共轭$\sqrt{A} + \sqrt{B}$进行有理化，将分子转化为$A - B$，分母保留共轭之和。随后，通过分析分母在$x \to +\infty$时的主部项，约简后即可求得极限。

破题关键：

1. 有理化处理消除$\infty - \infty$型不定式；
2. 分母中根号项的主部提取$x$，简化表达式；
3. 利用$x \to +\infty$时$\sqrt{1 \pm \frac{1}{x}} \approx 1 \pm \frac{1}{2x}$的近似展开。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+x}-\sqrt {{x}^{2}-x})$
将表达式乘以共轭$\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}$，分子分母同乘：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + x) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}.\end{aligned}$

步骤2：化简分母
将分母中的根号项提取$x$：
$\sqrt{x^2 + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, \quad \sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}.$
因此，分母可表示为：
$x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right).$
代入分式得：
$\frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}.$

步骤3：求极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，故：
$\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to 1, \quad \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \to 1.$
因此，分母趋近于$1 + 1 = 2$，最终极限为：
$\frac{2}{2} = 1.$