题目
已知sim E(3),用切比雪夫不等式估计概率sim E(3)________.
已知
,用切比雪夫不等式估计概率
________.
题目解答
答案
切比雪夫不等式是指，对于随机变量，
若
，
则
在本题中，∵,是连续型随机变量
∴
∴
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
已知$X\sim E(3)$，即$X$服从参数为$3$的指数分布。对于指数分布$E(\lambda)$，其期望$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\dfrac{1}{{\lambda}^2}$。因此，对于$X\sim E(3)$，我们有$E(X)=\dfrac{1}{3}$，$D(X)=\dfrac{1}{9}$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量$X$，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，对于任意正数$\varepsilon$，有$P\{|X-\mu|\geqslant \varepsilon\}\leqslant \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。因此，$P\{|X-\mu|\leqslant \varepsilon\}\geqslant 1-\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。在本题中，$\mu=\dfrac{1}{3}$，$\sigma^2=\dfrac{1}{9}$，$\varepsilon=2$。
步骤 3：计算概率的下界
将$\mu=\dfrac{1}{3}$，$\sigma^2=\dfrac{1}{9}$，$\varepsilon=2$代入切比雪夫不等式，得到$P\{|X-\dfrac{1}{3}|\leqslant 2\}\geqslant 1-\dfrac{\dfrac{1}{9}}{4}=1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$。
已知$X\sim E(3)$，即$X$服从参数为$3$的指数分布。对于指数分布$E(\lambda)$，其期望$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$，方差$D(X)=\dfrac{1}{{\lambda}^2}$。因此，对于$X\sim E(3)$，我们有$E(X)=\dfrac{1}{3}$，$D(X)=\dfrac{1}{9}$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量$X$，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，对于任意正数$\varepsilon$，有$P\{|X-\mu|\geqslant \varepsilon\}\leqslant \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。因此，$P\{|X-\mu|\leqslant \varepsilon\}\geqslant 1-\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。在本题中，$\mu=\dfrac{1}{3}$，$\sigma^2=\dfrac{1}{9}$，$\varepsilon=2$。
步骤 3：计算概率的下界
将$\mu=\dfrac{1}{3}$，$\sigma^2=\dfrac{1}{9}$，$\varepsilon=2$代入切比雪夫不等式，得到$P\{|X-\dfrac{1}{3}|\leqslant 2\}\geqslant 1-\dfrac{\dfrac{1}{9}}{4}=1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$。