题目
甲、乙两人约定在某日12:15~13:15时间内到达某咖啡厅，咖啡厅允许客人在不消费的情况下占位15min，假定他们在这段时间里随机地到达，如果他们打算见面后再共同点餐消费，求他们在共同点餐之前不需要消费的概率。
甲、乙两人约定在某日12:15~13:15时间内到达某咖啡厅，咖啡厅允许客人在不消费的情况下占位15min，假定他们在这段时间里随机地到达，如果他们打算见面后再共同点餐消费，求他们在共同点餐之前不需要消费的概率。
题目解答
答案
令12:15对应0,13:15对应60，甲x时到，乙y时到，他们在共同点餐之前不消费，即甲，乙到达时刻相差不超过15min，即$$|y-x|\leqslant 15$$，可得$$\cases { y-x\leqslant 15\cr x-y\leqslant 15\cr x\geqslant 0\cr y\geqslant 0} $$，构成的可行域如图所示，阴影部分面积$$S_1=60\times 60-\frac{1}{2}\times 45\times 45-\frac{1}{2}\times 45\times 45=1575$$，总的面积$$S=60\times 60=3600$$，概率$$p=\frac{S_1}{S}=\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}$$
解析
步骤 1：定义变量和条件
令12:15对应0,13:15对应60，甲到达时间为x，乙到达时间为y，他们共同点餐之前不消费，即甲、乙到达时刻相差不超过15min，即$$|y-x|\leqslant 15$$，可得$$\cases { y-x\leqslant 15\cr x-y\leqslant 15\cr x\geqslant 0\cr y\geqslant 0} $$。
步骤 2：确定可行域
根据上述条件，构成的可行域是一个正方形，边长为60，其中满足$$|y-x|\leqslant 15$$的区域为正方形内部的两个等腰直角三角形的补集，每个三角形的直角边长为45。
步骤 3：计算概率
阴影部分面积$$S_1=60\times 60-\frac{1}{2}\times 45\times 45-\frac{1}{2}\times 45\times 45=1575$$，总的面积$$S=60\times 60=3600$$，概率$$p=\frac{S_1}{S}=\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}$$。
令12:15对应0,13:15对应60，甲到达时间为x，乙到达时间为y，他们共同点餐之前不消费，即甲、乙到达时刻相差不超过15min，即$$|y-x|\leqslant 15$$，可得$$\cases { y-x\leqslant 15\cr x-y\leqslant 15\cr x\geqslant 0\cr y\geqslant 0} $$。
步骤 2：确定可行域
根据上述条件，构成的可行域是一个正方形，边长为60，其中满足$$|y-x|\leqslant 15$$的区域为正方形内部的两个等腰直角三角形的补集，每个三角形的直角边长为45。
步骤 3：计算概率
阴影部分面积$$S_1=60\times 60-\frac{1}{2}\times 45\times 45-\frac{1}{2}\times 45\times 45=1575$$，总的面积$$S=60\times 60=3600$$，概率$$p=\frac{S_1}{S}=\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}$$。