题目

46.【2020河南】计算定积分int_(0)^(pi)/(4)(1)/(cos^2)x+3dx.

46.【2020河南】计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^{2}x+3}dx$.

题目解答

答案

令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$，当 $x = 0$ 时，$u = 0$，当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$u = 1$。原积分变为
$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 + 3u^2} \, du.$
使用积分公式 $\int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a}$，其中 $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$，得
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ \arctan \left( \frac{u \sqrt{3}}{2} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解析

本题考查定积分的计算，解题思路是通过换元法将原积分转化为更易计算的形式，再利用积分公式求解。

  1. 换元：
    • 已知$\cos^{2}x=\frac{1}{1 + \tan^{2}x}$，令$u = \tan x$，对$u = \tan x$求导，根据求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$，可得$du = \sec^{2}x dx$。
    • 确定积分上下限的变化：当$x = 0$时，$u = \tan 0 = 0$；当$x=\frac{\pi}{4}$时，$u = \tan\frac{\pi}{4}=1$。
    • 将$\cos^{2}x=\frac{1}{1 + \tan^{2}x}$和$du = \sec^{2}x dx$代入原积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^{2}x + 3}dx$中，因为$\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$，所以原积分变为$\int_{0}^{1}\frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}}+3}du$。
    • 对$\frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}}+3}$进行化简：
      $\begin{align*}\frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}}+3}&=\frac{1}{\frac{1 + 3(1 + u^{2})}{1 + u^{2}}}\\&=\frac{1 + u^{2}}{1 + 3 + 3u^{2}}\\&=\frac{1 + u^{2}}{4 + 3u^{2}}\end{align*}$
    • 又因为$du = \sec^{2}x dx$，原积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^{2}x + 3}dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{4 + 3u^{2}}du$。
  2. 利用积分公式计算积分：
    • 对于积分$\int\frac{1}{a^{2}+u^{2}}du=\frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}+C$（$C$为常数），对于$\int_{0}^{1}\frac{1}{4 + 3u^{2}}du$，先将其变形为$\int_{0}^{1}\frac{1}{3(\frac{4}{3}+u^{2})}du=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}+u^{2}}du$。
    • 这里$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$，根据积分公式可得$\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}+u^{2}}du=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\left[\arctan\frac{u}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right]_{0}^{1}$。
    • 计算$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\left[\arctan\frac{u}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right]_{0}^{1}$：
      $\begin{align*}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\left[\arctan\frac{u}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\right]_{0}^{1}&=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\arctan\left(\frac{u\sqrt{3}}{2}\right)\right]_{0}^{1}\\&=\frac{\sqrt{3}}{6}\left[\arctan\left(\frac{u\sqrt{3}}{2}\right)\right]_{0}^{1}\end{align*}$
  3. 计算定积分的值：
    • 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，对于$\frac{\sqrt{3}}{6}\left[\arctan\left(\frac{u\sqrt{3}}{2}\right)\right]_{0}^{1}$，有$\frac{\sqrt{3}}{6}\left(\arctan\left(\frac{1\times\sqrt{3}}{2}\right)-\arctan(0)\right)$。
    • 因为$\arctan(0) = 0$，所以$\frac{\sqrt{3}}{6}\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-0\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$。