46.【2020河南】计算定积分int_(0)^(pi)/(4)(1)/(cos^2)x+3dx.

令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$，当 $x = 0$ 时，$u = 0$，当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$u = 1$。原积分变为
$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 + 3u^2} \, du.$
使用积分公式 $\int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a}$，其中 $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$，得
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ \arctan \left( \frac{u \sqrt{3}}{2} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{6} \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}}$