题目
1.设函数 (x)=(e)^dfrac (1{x)}arctan dfrac (|x|)(x-1) 则下列结论 不正确 的是 () .-|||-(A)当 arrow +infty 时, y=f(x) 有渐近线 =dfrac (pi )(4) (B)当 arrow 0 时, y=f(x) 有渐近线 =-dfrac (pi )(4)-|||-(C)当 |xarrow (0)^+| 时, y=f(x) 有渐近线 x=0 (D)当 arrow (1)^- 时, y=f(x) 有渐近线 x=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 $x\rightarrow +\infty$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow 0$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow 1$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow 1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow \dfrac{\pi}{4}$，即 $y=\dfrac{\pi}{4}$ 是渐近线。
步骤 2：分析 $x\rightarrow 0$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow \infty$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow \infty$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan (-1) = -\dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{4}$，即 $y=-\dfrac{\pi}{4}$ 是渐近线。
步骤 3：分析 $x\rightarrow 0^{+}$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow +\infty$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow +\infty$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan (-1) = -\dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{4}$，即 $x=0$ 是渐近线。
步骤 4：分析 $x\rightarrow 1^{-}$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 1^{-}$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow 1$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow e$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -\infty$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}e$，即 $x=1$ 不是渐近线。
当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow 0$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow 1$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow 1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow \dfrac{\pi}{4}$，即 $y=\dfrac{\pi}{4}$ 是渐近线。
步骤 2：分析 $x\rightarrow 0$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow \infty$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow \infty$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan (-1) = -\dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{4}$，即 $y=-\dfrac{\pi}{4}$ 是渐近线。
步骤 3：分析 $x\rightarrow 0^{+}$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow +\infty$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow +\infty$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -1$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow \arctan (-1) = -\dfrac{\pi}{4}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{4}$，即 $x=0$ 是渐近线。
步骤 4：分析 $x\rightarrow 1^{-}$ 时的渐近线
当 $x\rightarrow 1^{-}$ 时，$\dfrac{1}{x}\rightarrow 1$，所以 ${e}^{\dfrac{1}{x}}\rightarrow e$。同时，$\dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -\infty$，因此 $\arctan \dfrac{|x|}{x-1}\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}$。所以，$f(x)\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}e$，即 $x=1$ 不是渐近线。