题目

填空题（共6题，27.0分）11.（5.0分）已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则|A^3-5A^2+7A|=____.

填空题（共6题，27.0分） 11.（5.0分） 已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则$|A^{3}-5A^{2}+7A|$=____.

题目解答

答案

设 $ f(\lambda) = \lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda $，则矩阵 $ A^3 - 5A^2 + 7A $ 的特征值为 $ f(1) $，$ f(2) $，$ f(3) $。计算得： \[ f(1) = 3, \quad f(2) = 2, \quad f(3) = 3 \] 行列式等于特征值乘积： \[ |A^3 - 5A^2 + 7A| = 3 \times 2 \times 3 = 18 \] 答案：$\boxed{18}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质及其应用，特别是矩阵多项式的行列式计算。

解题核心思路：
若矩阵$A$的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则矩阵多项式$f(A) = A^3 -5A^2 +7A$的特征值为$f(\lambda_i) = \lambda_i^3 -5\lambda_i^2 +7\lambda_i$。矩阵行列式等于其特征值的乘积，因此只需计算每个$\lambda_i$代入多项式后的结果，再相乘即可。

破题关键点：

  1. 矩阵多项式的特征值与原特征值的关系；
  2. 行列式与特征值乘积的对应关系。

设多项式$f(\lambda) = \lambda^3 -5\lambda^2 +7\lambda$，则矩阵$A^3 -5A^2 +7A$的特征值为$f(1)$，$f(2)$，$f(3)$。

  1. 计算每个特征值对应的多项式值：

    • $f(1) = 1^3 -5 \cdot 1^2 +7 \cdot 1 = 1 -5 +7 = 3$
    • $f(2) = 2^3 -5 \cdot 2^2 +7 \cdot 2 = 8 -20 +14 = 2$
    • $f(3) = 3^3 -5 \cdot 3^2 +7 \cdot 3 = 27 -45 +21 = 3$

  2. 行列式等于特征值乘积：
    $|A^3 -5A^2 +7A| = f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) = 3 \times 2 \times 3 = 18$