3、设电子管使用寿命的概率密度函数为: varphi (x)= ^2),(xgt 100) 0,(xleqslant 100) . (单位:小时)。-|||-则在150小时内独立使用的三只管子中恰有一个损坏的概率为 __ o

考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系、连续型随机变量的概率计算，以及二项分布的应用。

解题核心思路：

1. 确定分布函数：通过积分概率密度函数得到分布函数$F(x)$，注意分段处理。
2. 计算单只电子管在150小时内损坏的概率：利用分布函数$F(150)$求出概率$p$。
3. 应用二项分布：三只独立电子管中恰有一只损坏的概率为$C(3,1)p^1(1-p)^2$。

破题关键点：

• 正确积分概率密度函数：注意积分区间为$x>100$时的积分。
• 区分“损坏”与“未损坏”概率：明确$p=F(150)$和$1-p$的含义。
• 二项分布公式应用：组合数与概率的乘积需准确计算。

1. 求分布函数$F(x)$

概率密度函数为：
$\varphi(x) = \begin{cases} \dfrac{100}{x^2}, & x > 100 \\0, & x \leq 100 \end{cases}$

分布函数$F(x)$定义为$\varphi(x)$的积分：

• 当$x \leq 100$时：$\varphi(x)=0$，故$F(x)=0$。
• 当$x > 100$时：
  $F(x) = \int_{100}^{x} \varphi(t) \, dt = \int_{100}^{x} \dfrac{100}{t^2} \, dt = \left[ -\dfrac{100}{t} \right]_{100}^{x} = 1 - \dfrac{100}{x}.$

综上，分布函数为：
$F(x) = \begin{cases} 1 - \dfrac{100}{x}, & x > 100 \\0, & x \leq 100 \end{cases}$

2. 计算单只电子管在150小时内损坏的概率$p$

将$x=150$代入分布函数：
$p = F(150) = 1 - \dfrac{100}{150} = \dfrac{1}{3}.$

3. 应用二项分布求三只中恰有一只损坏的概率

三只独立电子管中恰有一只损坏的概率为：
$C(3,1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9}.$