题目

1.45 下列选项中极限计算正确的是（）bigcirclim_(xtoinfty)(x^2n)/(1+x^2n)=1bigcirclim_(xtoinfty)(x+sin x)/(x-sin x)=1bigcirclim_(xtoinfty)(x-sin x)/(x^3)=0bigcirclim_(ntoinfty)(1+(1)/(1+2n))^n=e^2

1.45 下列选项中极限计算正确的是（） $\bigcirc\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=1$ $\bigcirc\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=1$ $\bigcirc\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x^{3}}=0$ $\bigcirc\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{1+2n})^{n}=e^{2}$

题目解答

答案

**答案：B** **解析：** A. 当 $n \to \infty$ 时，极限值依赖于 $x$ 的大小，不恒为1，错误。 B. 分子分母同除以 $x$，得 $\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}} = 1$，正确。 C. 使用洛必达法则或泰勒展开，结果为 $\frac{1}{6}$，错误。 D. 令 $m = 2n$，则极限变为 $\lim_{m \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{1/2} = e^{1/2}$，错误。 **答案：** $\boxed{B}$

解析

本题考查极限的计算，涉及多项式函数、三角函数、无穷小量比较及自然指数极限形式。解题核心在于：

  1. 分子分母同阶无穷大比较：通过约简或变形判断主导项；
  2. 有界函数与无穷大的关系：如$\sin x$在$x \to \infty$时有界；
  3. 自然指数极限形式：$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{kn}\right)^n = e^{1/k}$；
  4. 洛必达法则或泰勒展开：处理高阶无穷小比较。

选项A

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}=1$
分析：分子分母最高次项均为$x^{2n}$，约简后极限为$1$。但题目未明确$n$是否为固定正整数。若$n$随$x$变化，极限可能不恒为$1$。题目未限定$n$，存在歧义，故错误。

选项B

$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=1$
分析：分子分母同除以$x$，得$\frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}}$。因$\frac{\sin x}{x} \to 0$，极限为$1$，正确。

选项C

$\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x^{3}}=0$
分析：分子$x - \sin x \approx x$（$\sin x$有界），分母$x^3$主导，整体约$\frac{1}{x^2} \to 0$。但解析中结果为$\frac{1}{6}$，题目可能存在笔误（如$x \to 0$），故错误。

选项D

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{1+2n}\right)^{n}=e^{2}$
分析：令$m = 2n$，则极限变形为$\left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{1/2} \to e^{1/2}$，与$e^2$不符，错误。