一、专业综合水平测试试卷（共100题，100.0分） 36.（专业综合水平测试试卷，1.0分） 若向量组vec(a)_(1)=(1,2,3)^Tvec(a)_(2)=(2,1,-1)^T,vec(a)_(3)=(k,-1,1)^T线性相关，则k=（） A. -4 B. 2 C. 1 D. -2

为了确定向量组$\vec{a}_1 = (1, 2, 3)^T$, $\vec{a}_2 = (2, 1, -1)^T$, 和 $\vec{a}_3 = (k, -1, 1)^T$线性相关，我们需要找到使得这些向量线性相关的 $k$ 的值。向量线性相关当且仅当由这些向量构成的矩阵的行列式为零。 首先，我们构建由这些向量作为列的矩阵 $A$: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 接下来，我们计算矩阵 $A$ 的行列式。一个 $3 \times 3$ 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ 的行列式由以下公式给出： \[ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] 将 $A$ 的元素代入公式，我们得到： \[ \det(A) = 1 \left(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)\right) - 2 \left(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3\right) + k \left(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3\right) \] 在括号内简化： \[ \det(A) = 1 \left(1 - 1\right) - 2 \left(2 + 3\right) + k \left(-2 - 3\right) \] \[ \det(A) = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 5 + k \cdot (-5) \] \[ \det(A) = 0 - 10 - 5k \] \[ \det(A) = -10 - 5k \] 为了使向量线性相关，行列式必须为零： \[ -10 - 5k = 0 \] 解 $k$: \[ -5k = 10 \] \[ k = -2 \] 因此，使向量组线性相关的 $k$ 的值是 $\boxed{-2}$。正确选项是 $\boxed{D}$。