1.计算下列定积分:-|||-(20) int -dfrac (pi )(2) . 4cos^4 θdθ;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用偶函数的积分性质简化计算，以及通过降幂公式处理高次三角函数的积分。

解题核心思路：

1. 利用对称区间简化积分：由于被积函数是偶函数，积分区间对称，可将积分转化为两倍的非负区间积分。
2. 降幂展开：将$\cos^4\theta$展开为多项式形式，利用$\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$的降幂公式，逐项积分。

破题关键点：

• 识别偶函数：确认被积函数为偶函数，简化积分区间。
• 正确展开$\cos^4\theta$：通过两次应用降幂公式，将四次方转化为一次和二次三角函数的组合。

步骤1：利用偶函数性质简化积分

被积函数$4\cos^4\theta$是偶函数，积分区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$对称，因此：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^4\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^4\theta \, d\theta.$

步骤2：降幂展开$\cos^4\theta$

利用$\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$，展开$\cos^4\theta$：
$\cos^4\theta = \left( \cos^2\theta \right)^2 = \left( \frac{1+\cos2\theta}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 1 + 2\cos2\theta + \cos^22\theta \right).$
进一步展开$\cos^22\theta$：
$\cos^22\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2},$
代入得：
$\cos^4\theta = \frac{1}{4} \left( 1 + 2\cos2\theta + \frac{1+\cos4\theta}{2} \right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta.$

步骤3：代入积分并逐项计算

将展开式代入原积分：
$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^4\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{2} + 2\cos2\theta + \frac{1}{2}\cos4\theta \right) d\theta.$
逐项积分：

1. $\int \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2}\theta$；
2. $\int 2\cos2\theta d\theta = \sin2\theta$；
3. $\int \frac{1}{2}\cos4\theta d\theta = \frac{1}{8}\sin4\theta$。

步骤4：代入上下限

积分结果为：
$\left[ \frac{3}{2}\theta + \sin2\theta + \frac{1}{8}\sin4\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.$
当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，$\sin2\theta = \sin\pi = 0$，$\sin4\theta = \sin2\pi = 0$；
当$\theta = 0$时，所有项均为0。因此：
$\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}.$
最终结果为：
$2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}.$