题目
幂级数sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)的和函数sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)为( )A.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)B.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)C.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)D.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(2n-1)(x)^2n-1(|x|lt 1)
幂级数
的和函数
为( )
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
逐项求导，可得
所以
，
故选C.
解析
步骤 1：求幂级数的导数
对幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{2n-1}{x}^{2n-1}$逐项求导，得到
$g'(x)=(\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{2n-1}{x}^{2n-1})'=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n-2}$
步骤 2：求导数的和函数
$g'(x)=-1+x^2-x^4+x^6-\cdots+(-1)^{n}x^{2n-2}+\cdots=-\dfrac{1}{1+x^2}$
步骤 3：求原函数
$g(x)=\int g'(x)dx=\int -\dfrac{1}{1+x^2}dx=-\arctan x$
对幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{2n-1}{x}^{2n-1}$逐项求导，得到
$g'(x)=(\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{2n-1}{x}^{2n-1})'=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n-2}$
步骤 2：求导数的和函数
$g'(x)=-1+x^2-x^4+x^6-\cdots+(-1)^{n}x^{2n-2}+\cdots=-\dfrac{1}{1+x^2}$
步骤 3：求原函数
$g(x)=\int g'(x)dx=\int -\dfrac{1}{1+x^2}dx=-\arctan x$