题目
[题目]设A是4阶实对称矩阵, =(1,1,1,-|||-0)`, b=(-2,a,1,8) `。且 Aa=a , =2b,-|||-则常数 a=?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征向量和特征值
由题意知，向量 $\alpha = (1,1,1,0)^T$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $1$；向量 $\beta = (-2,a,1,8)^T$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $2$。
步骤 2：利用实对称矩阵的性质
由于 $A$ 是实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，属于不同特征值的特征向量是正交的。因此，$\alpha$ 和 $\beta$ 正交，即 $\alpha^T \beta = 0$。
步骤 3：计算内积并求解
计算 $\alpha^T \beta$ 的值，即 $(1,1,1,0) \cdot (-2,a,1,8) = -2 + a + 1 + 0 = a - 1$。根据正交性，有 $a - 1 = 0$，从而得到 $a = 1$。
由题意知，向量 $\alpha = (1,1,1,0)^T$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $1$；向量 $\beta = (-2,a,1,8)^T$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值为 $2$。
步骤 2：利用实对称矩阵的性质
由于 $A$ 是实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，属于不同特征值的特征向量是正交的。因此，$\alpha$ 和 $\beta$ 正交，即 $\alpha^T \beta = 0$。
步骤 3：计算内积并求解
计算 $\alpha^T \beta$ 的值，即 $(1,1,1,0) \cdot (-2,a,1,8) = -2 + a + 1 + 0 = a - 1$。根据正交性，有 $a - 1 = 0$，从而得到 $a = 1$。