题目

9.lim_(xtoinfty)x^(8)/(5)(sqrt[5](x^2+2)-sqrt[5](x^2+1))=_.

9.$\lim_{x\to\infty}x^{\frac{8}{5}}(\sqrt[5]{x^{2}+2}-\sqrt[5]{x^{2}+1})=_.$

题目解答

答案

令 $ t = \frac{1}{x} $，当 $ x \to \infty $ 时，$ t \to 0^+ $。原式可改写为：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{(1 + 2t^2)^{1/5} - (1 + t^2)^{1/5}}{t^2}$
利用泰勒展开，得：
$(1 + 2t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{2}{5}t^2, \quad (1 + t^2)^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5}t^2$
代入得：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{\left(1 + \frac{2}{5}t^2\right) - \left(1 + \frac{1}{5}t^2\right)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{5}t^2}{t^2} = \frac{1}{5}$
答案： $\boxed{\frac{1}{5}}$

解析

本题考查极限的计算，解题思路是通过变量代换将原式转化为便于处理的形式，再利用泰勒展开来求解极限。

  1. 变量代换：
    • 令$t = \frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to0^{+}$。
    • 此时$x=\frac{1}{t}$，$x^{\frac{8}{5}}=\left(\frac{1}{t}\right)^{\frac{8}{5}}=\frac{1}{t^{\frac{8}{5}}}$，$\sqrt[5]{x^{2}+2}=\sqrt[5]{\frac{1}{t^{2}} + 2}=\sqrt[5]{\frac{1 + 2t^{2}}{t^{2}}}=(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}t^{-\frac{2}{5}}$，$\sqrt[5]{x^{2}+1}=\sqrt[5]{\frac{1}{t^{2}} + 1}=\sqrt[5]{\frac{1 + t^{2}}{t^{2}}}=(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}t^{-\frac{2}{5}}$。
    • 则原式$\lim_{x\to\infty}x^{\frac{8}{5}}(\sqrt[5]{x^{2}+2}-\sqrt[5]{x^{2}+1})$可改写为：
      • $\lim_{t\to0^{+}}\frac{1}{t^{\frac{8}{5}}}\left[(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}t^{-\frac{2}{5}}-(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}t^{-\frac{2}{5}}\right]$。
      • 提取公因式$t^{-\frac{2}{5}}$可得：$\lim_{t\to0^{+}}\frac{1}{t^{\frac{8}{5}}}\cdot t^{-\frac{2}{5}}\left[(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}-(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}\right]$。
      • 根据指数运算法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，$\frac{1}{t^{\frac{8}{5}}}\cdot t^{-\frac{2}{5}}=t^{-\frac{8}{5}-\frac{2}{5}}=t^{-2}$，所以原式变为$\lim_{t\to0^{+}}\frac{(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}-(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}}{t^{2}}$。
  2. 泰勒展开：
    • 对于$(1 + u)^{\alpha}$，当$u\to0$时，其泰勒展开式为$(1 + u)^{\alpha}\approx1+\alpha u$。
    • 当$t\to0^{+}$时，$2t^{2}\to0$，$t^{2}\to0$，则$(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}\approx1+\frac{1}{5}\times(2t^{2}) = 1+\frac{2}{5}t^{2}$，$(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}\approx1+\frac{1}{5}\times t^{2}=1+\frac{1}{5}t^{2}$。
  3. 计算极限：
    • 将泰勒展开式代入$\lim_{t\to0^{+}}\frac{(1 + 2t^{2})^{\frac{1}{5}}-(1 + t^{2})^{\frac{1}{5}}}{t^{2}}$可得：
      • $\lim_{t\to0^{+}}\frac{\left(1+\frac{2}{5}t^{2}\right)-\left(1+\frac{1}{5}t^{2}\right)}{t^{2}}$。
      • 去括号得$\lim_{t\to0^{+}}\frac{1+\frac{2}{5}t^{2}-1-\frac{1}{5}t^{2}}{t^{2}}$。
      • 合并同类项得$\lim_{t\to0^{+}}\frac{\frac{2}{5}t^{2}-\frac{1}{5}t^{2}}{t^{2}}=\lim_{t\to0^{+}}\frac{\frac{1}{5}t^{2}}{t^{2}}$。
      • 约去$t^{2}$得$\lim_{t\to0^{+}}\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$。