题目

二、复合函数、隐函数、参数方程求导 【例21】(1993,数三)设y=sin[f(x^2)]，其中f具有二阶导数，求(d^2y)/(dx^2).

二、复合函数、隐函数、参数方程求导 【例21】(1993,数三)设$y=\sin[f(x^{2})]$，其中f具有二阶导数，求$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.

题目解答

答案

设 $ u = x^2 $，则 $ y = \sin[f(u)] $。 一阶导数： \[ \frac{dy}{dx} = \cos[f(u)] \cdot f'(u) \cdot 2x = 2x \cos[f(x^2)] f'(x^2) \] 二阶导数： \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \cos[f(x^2)] f'(x^2) + 2x \left[ -2x \sin[f(x^2)] [f'(x^2)]^2 + 2x \cos[f(x^2)] f''(x^2) \right] \] 化简得： \[ \boxed{2 \cos[f(x^2)] f'(x^2) - 4x^2 \sin[f(x^2)] [f'(x^2)]^2 + 4x^2 \cos[f(x^2)] f''(x^2)} \]

解析

本题考查复合函数求二阶导数的知识。解题思路是先根据复合函数求导法则求出一阶导数，再对一阶导数继续使用求导法则求出二阶导数。

求一阶导数

设$u = x^2$，则$y = \sin[f(u)]$。
根据复合函数求导法则：若$y = F(G(x))$，则$y^\prime = F^\prime(G(x))\cdot G^\prime(x)$。
对$y = \sin[f(u)]$关于$x$求导，先对$\sin[f(u)]$关于$f(u)$求导，再乘以$f(u)$关于$u$的导数，最后乘以$u$关于$x$的导数。

  • 对$\sin[f(u)]$关于$f(u)$求导，根据求导公式$(\sin t)^\prime=\cos t$，可得$(\sin[f(u)])^\prime_{f(u)}=\cos[f(u)]$。
  • 对$f(u)$关于$u$求导，可得$(f(u))^\prime_{u}=f^\prime(u)$。
  • 对$u = x^2$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime_{x}=(x^2)^\prime = 2x$。

将以上结果相乘，可得一阶导数：
$\frac{dy}{dx}=\cos[f(u)]\cdot f^\prime(u)\cdot 2x = 2x\cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)$

求二阶导数

对$\frac{dy}{dx}= 2x\cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)$关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = 2x$，$v = \cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)$。

  • 先对$u = 2x$求导，可得$u^\prime=(2x)^\prime = 2$。
  • 再对$v = \cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)$求导，根据乘积的求导法则$(vw)^\prime = v^\prime w + vw^\prime$，这里$v = \cos[f(x^2)]$，$w = f^\prime(x^2)$。
    • 对$v = \cos[f(x^2)]$求导，设$t = f(x^2)$，则$v = \cos t$，先对$\cos t$关于$t$求导，再乘以$t$关于$x$的导数。
      • 对$\cos t$关于$t$求导，根据求导公式$(\cos t)^\prime=-\sin t$，可得$(\cos t)^\prime_{t}=-\sin t=-\sin[f(x^2)]$。
      • 对$t = f(x^2)$关于$x$求导，设$s = x^2$，则$t = f(s)$，先对$f(s)$关于$s$求导，再乘以$s$关于$x$的导数。
        • 对$f(s)$关于$s$求导，可得$(f(s))^\prime_{s}=f^\prime(s)=f^\prime(x^2)$。
        • 对$s = x^2$关于$x$求导，可得$s^\prime_{x}=(x^2)^\prime = 2x$。
          所以$v^\prime=-\sin[f(x^2)]\cdot f^\prime(x^2)\cdot 2x=-2x\sin[f(x^2)]f^\prime(x^2)$。
    • 对$w = f^\prime(x^2)$求导，设$s = x^2$，则$w = f^\prime(s)$，先对$f^\prime(s)$关于$s$求导，再乘以$s$关于$x$的导数。
      • 对$f^\prime(s)$关于$s$求导，可得$(f^\prime(s))^\prime_{s}=f^{\prime\prime}(s)=f^{\prime\prime}(x^2)$。
      • 对$s = x^2$关于$x$求导，可得$s^\prime_{x}=(x^2)^\prime = 2x$。
        所以$w^\prime=f^{\prime\prime}(x^2)\cdot 2x = 2xf^{\prime\prime}(x^2)$。
        则$v^\prime w + vw^\prime=-2x\sin[f(x^2)][f^\prime(x^2)]^2 + 2x\cos[f(x^2)]f^{\prime\prime}(x^2)$。

将$u^\prime$、$v^\prime w + vw^\prime$代入$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得二阶导数：
$\begin{align*}\frac{d^2y}{dx^2}&=2\cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)+2x\left[-2x\sin[f(x^2)][f^\prime(x^2)]^2 + 2x\cos[f(x^2)]f^{\prime\prime}(x^2)\right]\\&=2\cos[f(x^2)]f^\prime(x^2)-4x^2\sin[f(x^2)][f^\prime(x^2)]^2 + 4x^2\cos[f(x^2)]f^{\prime\prime}(x^2)\end{align*}$