题目
9. (5.0分) int_(0)^1e^sqrt(x)dx=( )
9. (5.0分) $\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx=( )$
题目解答
答案
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$。积分上下限变为 $0$ 到 $1$。
代入得：
\[
\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du.
\]
使用分部积分法，设 $v = u$，$dw = e^u \, du$，则 $dv = du$，$w = e^u$。
\[
\int_{0}^{1} u e^u \, du = \left[ u e^u \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^u \, du = e - (e - 1) = 1.
\]
因此，原积分值为：
\[
2 \times 1 = \boxed{2}.
\]
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$。积分上下限变为 $0$ 到 $1$。
步骤 2：代入变量
代入得：\[ \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du. \]
步骤 3：分部积分法
使用分部积分法，设 $v = u$，$dw = e^u \, du$，则 $dv = du$，$w = e^u$。
\[ \int_{0}^{1} u e^u \, du = \left[ u e^u \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^u \, du = e - (e - 1) = 1. \]
步骤 4：计算原积分
因此，原积分值为：\[ 2 \times 1 = \boxed{2}. \]
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$。积分上下限变为 $0$ 到 $1$。
步骤 2：代入变量
代入得：\[ \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du. \]
步骤 3：分部积分法
使用分部积分法，设 $v = u$，$dw = e^u \, du$，则 $dv = du$，$w = e^u$。
\[ \int_{0}^{1} u e^u \, du = \left[ u e^u \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^u \, du = e - (e - 1) = 1. \]
步骤 4：计算原积分
因此，原积分值为：\[ 2 \times 1 = \boxed{2}. \]