题目
8 int dfrac ({x)^5+(x)^4-8}({x)^3-x}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
首先，我们注意到被积函数 $\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x}$ 可以通过多项式除法或部分分式分解来简化。由于分母 ${x}^{3}-x$ 可以分解为 $x(x-1)(x+1)$，我们尝试将分子 ${x}^{5}+{x}^{4}-8$ 除以分母 ${x}^{3}-x$。
步骤 2：执行多项式除法
执行多项式除法，我们得到：
$$\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x} = {x}^{2} + x + \dfrac{8}{{x}^{3}-x}$$
其中，$\dfrac{8}{{x}^{3}-x}$ 可以进一步分解为部分分式。
步骤 3：部分分式分解
将 $\dfrac{8}{{x}^{3}-x}$ 分解为部分分式，我们得到：
$$\dfrac{8}{{x}^{3}-x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{x+1}$$
通过解方程组，我们得到 $A = -4$，$B = 4$，$C = 4$。因此，原式可以写为：
$$\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x} = {x}^{2} + x - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{4}{x+1}$$
步骤 4：积分
现在，我们可以对每一项进行积分：
$$\int \left( {x}^{2} + x - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{4}{x+1} \right) dx$$
$$= \int {x}^{2} dx + \int x dx - 4\int \dfrac{1}{x} dx + 4\int \dfrac{1}{x-1} dx + 4\int \dfrac{1}{x+1} dx$$
$$= \dfrac{{x}^{3}}{3} + \dfrac{{x}^{2}}{2} - 4\ln|x| + 4\ln|x-1| + 4\ln|x+1| + C$$
首先，我们注意到被积函数 $\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x}$ 可以通过多项式除法或部分分式分解来简化。由于分母 ${x}^{3}-x$ 可以分解为 $x(x-1)(x+1)$，我们尝试将分子 ${x}^{5}+{x}^{4}-8$ 除以分母 ${x}^{3}-x$。
步骤 2：执行多项式除法
执行多项式除法，我们得到：
$$\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x} = {x}^{2} + x + \dfrac{8}{{x}^{3}-x}$$
其中，$\dfrac{8}{{x}^{3}-x}$ 可以进一步分解为部分分式。
步骤 3：部分分式分解
将 $\dfrac{8}{{x}^{3}-x}$ 分解为部分分式，我们得到：
$$\dfrac{8}{{x}^{3}-x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{x+1}$$
通过解方程组，我们得到 $A = -4$，$B = 4$，$C = 4$。因此，原式可以写为：
$$\dfrac{{x}^{5}+{x}^{4}-8}{{x}^{3}-x} = {x}^{2} + x - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{4}{x+1}$$
步骤 4：积分
现在，我们可以对每一项进行积分：
$$\int \left( {x}^{2} + x - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{4}{x+1} \right) dx$$
$$= \int {x}^{2} dx + \int x dx - 4\int \dfrac{1}{x} dx + 4\int \dfrac{1}{x-1} dx + 4\int \dfrac{1}{x+1} dx$$
$$= \dfrac{{x}^{3}}{3} + \dfrac{{x}^{2}}{2} - 4\ln|x| + 4\ln|x-1| + 4\ln|x+1| + C$$