3.18设二维随机向量(X,Y)的分布函数为-|||-.F(x,y)= ) 1-(e)^-x-(e)^-y+(e)^-(x+y) 0, . , geqslant 0 ,geqslant 0 ,-|||-其他,-|||-讨论X,Y的独立性.

考查要点：本题主要考查二维随机变量独立性的判断，需要掌握边缘分布函数的求法以及独立性的判定条件。

解题核心思路：

1. 求边缘分布函数：通过联合分布函数分别求出$X$和$Y$的边缘分布函数$F_X(x)$和$F_Y(y)$。
2. 验证乘积关系：检查是否对所有$x,y$有$F(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$，若成立则$X$与$Y$独立。

破题关键点：

• 边缘分布函数的定义：$F_X(x) = F(x, +\infty)$，$F_Y(y) = F(+\infty, y)$。
• 指数函数的极限性质：当变量趋向$+\infty$时，$e^{-x} \to 0$。

求边缘分布函数$F_X(x)$

当$x \geq 0$时，取$y \to +\infty$：
$F_X(x) = F(x, +\infty) = 1 - e^{-x} - e^{-\infty} + e^{-(x+\infty)} = 1 - e^{-x}.$
当$x < 0$时，原式$F(x,y)=0$，故$F_X(x) = 0$。

求边缘分布函数$F_Y(y)$

同理，当$y \geq 0$时，取$x \to +\infty$：
$F_Y(y) = F(+\infty, y) = 1 - e^{-\infty} - e^{-y} + e^{-(\infty+y)} = 1 - e^{-y}.$
当$y < 0$时，$F_Y(y) = 0$。

验证独立性

对任意$x,y$，计算$F_X(x) \cdot F_Y(y)$：

• 当$x \geq 0$且$y \geq 0$时：
  $F_X(x) \cdot F_Y(y) = (1 - e^{-x})(1 - e^{-y}) = 1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-(x+y)} = F(x,y).$
• 当$x < 0$或$y < 0$时，$F_X(x)$或$F_Y(y)$为$0$，乘积为$0$，与$F(x,y)$一致。

结论：对所有$x,y$，$F(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$，故$X$与$Y$独立。