题目

(2) (int )_(-2)^2((x)^3(cos )^5x+sqrt (4-{x)^2})dx=

题目解答

答案

由定积分的性质可得 ${\int }_{-2}^{2}({x}^{3}{\cos }^{5}x+\sqrt {4-{x}^{2}})dx={\int }_{-2}^{2}{x}^{3}{\cos }^{5}xdx+$ ${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$, 令 $f(x)={x}^{3}{\cos }^{5}x$, 则 $f(-x)={(-x)}^{3}{\cos }^{5}(-x)=-{x}^{3}{\cos }^{5}x=$ $-f(x)$, 所以f(x)为奇函数,所以 ${\int }_{-2}^{2}{x}^{3}{\cos }^{5}xdx=0$. 令 $y=\sqrt {4-{x}^{2}}$ 则 ${x}^{2}+{y}^{2}=4(y\geqslant 0)$, 点(x,y)的轨迹为半圆, ${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$ 表示以原点为圆心,2为半径的圆面积的 $\dfrac {1}{2}$, 所以 ${\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx=\dfrac {1}{2}\times \pi \times {2}^{2}=2\pi $. 所以 ${\int }_{-2}^{2}({x}^{3}{\cos }^{5}x+\sqrt {4-{x}^{2}})dx=2\pi $.
2π

解析

考查要点：本题主要考查定积分的对称性性质及几何意义的应用。
解题思路：

  1. 拆分积分：将积分拆分为两个部分，分别处理。
  2. 奇偶性判断：判断第一部分的被积函数是否为奇函数，利用对称区间奇函数的积分性质简化计算。
  3. 几何意义：将第二部分的积分转化为半圆面积的计算，直接应用面积公式求解。

关键点：

  • 奇函数在对称区间上的积分结果为0；
  • $\sqrt{4-x^2}$的几何意义对应上半圆的方程，积分值为半圆面积。

拆分积分

原积分可拆分为两部分：
$\int_{-2}^{2} x^3 \cos^5 x \, dx + \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$

第一部分：$\int_{-2}^{2} x^3 \cos^5 x \, dx$

  1. 判断奇偶性：
    • $x^3$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，$\cos^5 x$ 仍为偶函数。
    • 奇函数乘以偶函数结果为奇函数，即 $f(x) = x^3 \cos^5 x$ 是奇函数。
  2. 对称区间积分性质：
    • 奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分为0，因此：
      $\int_{-2}^{2} x^3 \cos^5 x \, dx = 0$

第二部分：$\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$

  1. 几何意义转化：
    • 方程 $y = \sqrt{4 - x^2}$ 对应上半圆 $x^2 + y^2 = 4$（$y \geq 0$）。
    • 积分 $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ 表示半径为2的半圆面积。
  2. 计算面积：
    • 半圆面积公式为 $\frac{1}{2} \pi r^2$，代入 $r = 2$：
      $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \pi \times 2^2 = 2\pi$

合并结果

将两部分结果相加：
$0 + 2\pi = 2\pi$