12.求极限lim_(xto0)(sin x+3ln(1+x))/(1+x-cos(2x)).

本题主要考察极限的计算方法，包括等价无穷小替换和洛必达法则，适用于求解$x\to0$时的$\frac{0}{0}$型极限问题。

方法一：等价无穷小替换

当$x\to0$时，常用等价无穷小如下：

• $\sin x\sim x$，$\ln(1+x)\sim x$，$\cos t\sim1-\frac{t^2}{2}$（$t\to0$）。

分子化简：

$\sin x + 3\ln(1+x)\sim x + 3x = 4x$（等价无穷小替换）。

分母化简：

$\cos(2x)\sim1 - \frac{(2x)^2}{2}=1 - 2x^2$，则：
$1 + x - \cos(2x)\sim1 + x - (1 - 2x^2)=x + 2x^2$。

代入极限：

$\lim_{x\to0}\frac{4x}{x + 2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{4}{1 + 2x}=4\quad(\text{约去}x,\text{代入}x=0)$

方法二：洛必达法则

原式为$\frac{0}{0}$型极限，对分子分母分别求导：

• 分子导数：$(\sin x + 3\ln(1+x))'=\cos x + \frac{3}{1+x}$
• 分母导数：$(1 + x - \cos(2x))'=1 + 2\sin(2x)$

代入$x=0$：
$\lim_{x\to0}\frac{\cos x + \frac{3}{1+x}}{1 + 2\sin(2x)}=\frac{\cos0 + \frac{3}{1+0}}{1 + 2\sin0}=\frac{1 + 3}{1}=4$