题目
若f(x)在x_0处可导，则lim_(x to x_0) (x_0 f(x)- xf(x_0))/(x - x_0)= A. x_0 f'(x_0)- f(x_0)B. f(x_0)- x_0 f'(x_0)C. f'(x_0)- x_0 f(x_0)D. x_0 f(x_0)- f'(x_0)
若$f(x)$在$x_0$处可导，则$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x)- xf(x_0)}{x - x_0}=$
- A. $x_0 f'(x_0)- f(x_0)$
- B. $f(x_0)- x_0 f'(x_0)$
- C. $f'(x_0)- x_0 f(x_0)$
- D. $x_0 f(x_0)- f'(x_0)$
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x)-xf(x_{0})}{x-x_{0}}$，我们可以使用导数的定义和一些代数操作。让我们一步步来分析。
首先，考虑表达式 inside the limit:
\[
\frac{x_{0}f(x)-xf(x_{0})}{x-x_{0}}
\]
我们可以将分子 $x_{0}f(x) - xf(x_{0})$ 重写为:
\[
x_{0}f(x) - xf(x_{0}) = x_{0}f(x) - x_{0}f(x_{0}) + x_{0}f(x_{0}) - xf(x_{0})
\]
这样，我们可以将原极限表达式拆分成两个部分:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x) - x_{0}f(x_{0}) + x_{0}f(x_{0}) - xf(x_{0})}{x - x_{0}}
\]
可以将这个极限分成两个极限的和:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \left( \frac{x_{0}f(x) - x_{0}f(x_{0})}{x - x_{0}} + \frac{x_{0}f(x_{0}) - xf(x_{0})}{x - x_{0}} \right)
\]
根据极限的性质，可以将两个极限分别求解:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x) - x_{0}f(x_{0})}{x - x_{0}} + \lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x_{0}) - xf(x_{0})}{x - x_{0}}
\]
对于第一个极限:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x) - x_{0}f(x_{0})}{x - x_{0}} = x_{0} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}
\]
根据导数的定义，$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = f'(x_{0})$，所以:
\[
x_{0} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = x_{0} f'(x_{0})
\]
对于第二个极限:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x_{0}) - xf(x_{0})}{x - x_{0}} = f(x_{0}) \lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0} - x}{x - x_{0}} = f(x_{0}) \lim_{x \to x_{0}} (-1) = -f(x_{0})
\]
将两个极限的结果相加:
\[
x_{0} f'(x_{0}) + (-f(x_{0})) = x_{0} f'(x_{0}) - f(x_{0})
\]
因此，原极限的值为:
\[
\lim_{x \to x_{0}} \frac{x_{0}f(x)-xf(x_{0})}{x-x_{0}} = x_{0} f'(x_{0}) - f(x_{0})
\]
所以，正确答案是:
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：将分子重写
将分子 $x_0 f(x) - xf(x_0)$ 重写为 $x_0 f(x) - x_0 f(x_0) + x_0 f(x_0) - xf(x_0)$，这样可以将原极限表达式拆分成两个部分。
步骤 2：拆分极限
将原极限表达式拆分成两个极限的和：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x) - x_0 f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x_0) - xf(x_0)}{x - x_0}$。
步骤 3：分别求解两个极限
第一个极限：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x) - x_0 f(x_0)}{x - x_0} = x_0 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = x_0 f'(x_0)$。
第二个极限：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x_0) - xf(x_0)}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \frac{x_0 - x}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} (-1) = -f(x_0)$。
步骤 4：将两个极限的结果相加
$x_0 f'(x_0) + (-f(x_0)) = x_0 f'(x_0) - f(x_0)$。
将分子 $x_0 f(x) - xf(x_0)$ 重写为 $x_0 f(x) - x_0 f(x_0) + x_0 f(x_0) - xf(x_0)$，这样可以将原极限表达式拆分成两个部分。
步骤 2：拆分极限
将原极限表达式拆分成两个极限的和：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x) - x_0 f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x_0) - xf(x_0)}{x - x_0}$。
步骤 3：分别求解两个极限
第一个极限：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x) - x_0 f(x_0)}{x - x_0} = x_0 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = x_0 f'(x_0)$。
第二个极限：$\lim_{x \to x_0} \frac{x_0 f(x_0) - xf(x_0)}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} \frac{x_0 - x}{x - x_0} = f(x_0) \lim_{x \to x_0} (-1) = -f(x_0)$。
步骤 4：将两个极限的结果相加
$x_0 f'(x_0) + (-f(x_0)) = x_0 f'(x_0) - f(x_0)$。