求幂级数sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac ({x)^n}(n)-|||-__的收敛半径和收敛域

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛半径和收敛域的求解方法，涉及比值法、交错级数判别法以及调和级数的发散性。

解题核心思路：

1. 收敛半径：利用比值法求极限确定收敛半径；
2. 收敛域端点判断：分别代入$x=1$和$x=-1$，通过交错级数判别法和调和级数的发散性判断端点是否收敛。

破题关键点：

• 比值法中正确计算系数比的极限；
• 端点收敛性需结合具体级数形式进行判断。

求收敛半径

设幂级数的通项为$a_n = (-1)^{n-1} \dfrac{x^n}{n}$，根据比值法：
$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$
因此，收敛半径为：
$r = \dfrac{1}{\rho} = 1$

判断收敛域端点

1. 当$x=1$时，级数变为：
   $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \dfrac{1}{n}$
   该级数为交错级数，且$\dfrac{1}{n}$单调递减趋于$0$，根据莱布尼茨判别法，级数收敛。

2. 当$x=-1$时，级数变为：
   $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \dfrac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{-1}{n}$
   该级数为调和级数的相反数，因$\sum \dfrac{1}{n}$发散，故此级数发散。

结论：收敛域为$(-1, 1]$。