2.计算题隐函数的偏导数设函数z=z(x,y)由方程 e^z-xy+z-1=0所确定，求(partial z)/(partial x)和(partial z)/(partial y).cdot
题目解答
答案
为了求由方程 $e^z - xy + z - 1 = 0$ 所确定的隐函数 $z = z(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$，我们可以使用隐函数的求导法则。具体步骤如下：
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求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
将方程 $e^z - xy + z - 1 = 0$ 的两边对 $x$ 求偏导数。注意，$z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，所以 $e^z$ 和 $z$ 对 $x$ 求偏导数时需要使用链式法则。
$\frac{\partial}{\partial x}(e^z - xy + z - 1) = \frac{\partial}{\partial x}(0)$
左边逐项求偏导数，得到：
$\frac{\partial}{\partial x}(e^z) - \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial x}(z) - \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0$
即：
$e^z \frac{\partial z}{\partial x} - y + \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
合并同类项，得到：
$(e^z + 1) \frac{\partial z}{\partial x} = y$
解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$，得到：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{e^z + 1}$
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求 $\frac{\partial z}{\partial y}$
将方程 $e^z - xy + z - 1 = 0$ 的两边对 $y$ 求偏导数。同样，$z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，所以 $e^z$ 和 $z$ 对 $y$ 求偏导数时需要使用链式法则。
$\frac{\partial}{\partial y}(e^z - xy + z - 1) = \frac{\partial}{\partial y}(0)$
左边逐项求偏导数，得到：
$\frac{\partial}{\partial y}(e^z) - \frac{\partial}{\partial y}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}(z) - \frac{\partial}{\partial y}(1) = 0$
即：
$e^z \frac{\partial z}{\partial y} - x + \frac{\partial z}{\partial y} = 0$
合并同类项，得到：
$(e^z + 1) \frac{\partial z}{\partial y} = x$
解出 $\frac{\partial z}{\partial y}$，得到：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{e^z + 1}$
因此，所求的偏导数为：
$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{e^z + 1}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{e^z + 1}}$
解析
本题考查隐函数求偏导数的知识。解题思路是利用隐函数求导法则，分别对给定方程两边关于$x$和$y$求偏导数，在求导过程中，因为$z$是$x$和$y$的函数，所以对含有$z$的项求偏导时需要使用链式法则，然后通过移项、合并同类项等操作解出$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
求$\frac{\partial z}{\partial x}$
将方程$e^{z}-xy + z - 1 = 0$两边同时对$x$求偏导数，根据求导的加法法则$\frac{\partial}{\partial x}(u+v+w)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial x}$可得：
$\frac{\partial}{\partial x}(e^{z})-\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial x}(z)-\frac{\partial}{\partial x}(1)=\frac{\partial}{\partial x}(0)$
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(e^{z})$，根据链式法则$\frac{\partial f(g(x))}{\partial x}=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$f(u)=e^{u}$，$u = z(x,y)$，则$\frac{\partial}{\partial x}(e^{z})=e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(xy)$，因为$y$看作常数，根据求导公式$(ax)^\prime=a$（$a$为常数），可得$\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(z)$，$z$是$x$和$y$的函数，所以$\frac{\partial}{\partial x}(z)=\frac{\partial z}{\partial x}$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(1)$，常数的导数为$0$，所以$\frac{\partial}{\partial x}(1)=0$。
- 等式右边$\frac{\partial}{\partial x}(0)=0$。
将上述结果代入可得：
$e^{z}\frac{\partial z}{\partial x}-y+\frac{\partial z}{\partial x}=0$
合并同类项，提取公因式$\frac{\partial z}{\partial x}$得：
$(e^{z}+1)\frac{\partial z}{\partial x}=y$
两边同时除以$e^{z}+1$，解得：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{e^{z}+1}$
求$\frac{\partial z}{\partial y}$
将方程$e^{z}-xy + z - 1 = 0$两边同时对$y$求偏导数，根据求导的加法法则可得：
$\frac{\partial}{\partial y}(e^{z})-\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(z)-\frac{\partial}{\partial y}(1)=\frac{\partial}{\partial y}(0)$
- 对于$\frac{\partial}{\partial y}(e^{z})$，根据链式法则，令$f(u)=e^{u}$，$u = z(x,y)$，则$\frac{\partial}{\partial y}(e^{z})=e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial y}(xy)$，因为$x$看作常数，根据求导公式$(ay)^\prime=a$（$a$为常数），可得$\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial y}(z)$，$z$是$x$和$y$的函数，所以$\frac{\partial}{\partial y}(z)=\frac{\partial z}{\partial y}$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial y}(1)$，常数的导数为$0$，所以$\frac{\partial}{\partial y}(1)=0$。
- 等式右边$\frac{\partial}{\partial y}(0)=0$。
将上述结果代入可得：
$e^{z}\frac{\partial z}{\partial y}-x+\frac{\partial z}{\partial y}=0$
合并同类项，提取公因式$\frac{\partial z}{\partial y}$得：
$(e^{z}+1)\frac{\partial z}{\partial y}=x$
两边同时除以$e^{z}+1$，解得：
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{e^{z}+1}$