求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。.

考查要点：本题主要考查空间直线与平面平行的条件，以及如何利用平面法向量确定直线方向向量。

解题核心思路：

1. 直线与平面平行的条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直。
2. 已知直线需同时与两个平面平行，因此其方向向量应与两个平面的法向量均垂直，可通过向量叉乘求得方向向量。
3. 最后利用点向式方程写出直线方程。

步骤1：求两平面的法向量

• 平面$x + 2z = 1$的法向量为$\boldsymbol{n_1} = (1, 0, 2)$。
• 平面$y - 3z = 2$的法向量为$\boldsymbol{n_2} = (0, 1, -3)$。

步骤2：求直线的方向向量

直线方向向量$\boldsymbol{v}$需与$\boldsymbol{n_1}$和$\boldsymbol{n_2}$均垂直，因此计算$\boldsymbol{n_1} \times \boldsymbol{n_2}$：
$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{n_1} \times \boldsymbol{n_2} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\1 & 0 & 2 \\0 & 1 & -3\end{vmatrix} = (-2, 3, 1)$

步骤3：写直线方程

直线过点$(0, 2, 4)$，方向向量为$(-2, 3, 1)$，其对称式方程为：
$\frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1}$