题目
极限lim _(xarrow 0)dfrac (x+y)(x-y)= ()( A ) 不存在 .( B ) 0 . ( C ) 1 . ( D ) 一 1
极限
( A ) 不存在 .
( B ) 0 .
( C ) 1 .
( D ) 一 1
题目解答
答案
当二元极限沿
趋近时，有
当二元极限沿
趋近时，有
显然，这两条路径求得的二元极限结果不同，不满足二元极限的存在条件，故极限不存在。
即本题选A。
解析
步骤 1：分析极限的路径依赖性
考虑二元函数$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$，当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，极限值可能依赖于趋近路径。为了判断极限是否存在，我们分别沿$x=0$和$y=0$两条路径趋近$(0,0)$，并计算极限值。
步骤 2：沿$x=0$路径趋近$(0,0)$
当$x=0$时，函数变为$f(0,y)=\dfrac{0+y}{0-y}=-1$。因此，沿$x=0$路径趋近$(0,0)$时，极限值为$-1$。
步骤 3：沿$y=0$路径趋近$(0,0)$
当$y=0$时，函数变为$f(x,0)=\dfrac{x+0}{x-0}=1$。因此，沿$y=0$路径趋近$(0,0)$时，极限值为$1$。
步骤 4：判断极限是否存在
由于沿不同路径趋近$(0,0)$时，极限值不同，即沿$x=0$路径趋近时极限值为$-1$，而沿$y=0$路径趋近时极限值为$1$，因此，二元函数$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$在$(0,0)$处的极限不存在。
考虑二元函数$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$，当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，极限值可能依赖于趋近路径。为了判断极限是否存在，我们分别沿$x=0$和$y=0$两条路径趋近$(0,0)$，并计算极限值。
步骤 2：沿$x=0$路径趋近$(0,0)$
当$x=0$时，函数变为$f(0,y)=\dfrac{0+y}{0-y}=-1$。因此，沿$x=0$路径趋近$(0,0)$时，极限值为$-1$。
步骤 3：沿$y=0$路径趋近$(0,0)$
当$y=0$时，函数变为$f(x,0)=\dfrac{x+0}{x-0}=1$。因此，沿$y=0$路径趋近$(0,0)$时，极限值为$1$。
步骤 4：判断极限是否存在
由于沿不同路径趋近$(0,0)$时，极限值不同，即沿$x=0$路径趋近时极限值为$-1$，而沿$y=0$路径趋近时极限值为$1$，因此，二元函数$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}$在$(0,0)$处的极限不存在。