4.给出以下4个命题①若lim_(x to 0)f(x)=a，且lim_(x to 0)varphi(x)=0，则lim_(x to 0)f[varphi(x)]=a.②若f(x)在x=0处连续，且lim_(x to 0)varphi(x)=0，则lim_(x to 0)f[varphi(x)]=f(0).③若lim_(x to 0)f(x)=a，且lim_(x to 0)(varphi(x))/(x)=1，则lim_(x to 0)f[varphi(x)]=a.④若lim_(x to 0)f(x)=a，且极限lim_(x to 0)(varphi(x))/(x)存在，则lim_(x to 0)f[varphi(x)]=a.其中真命题个数为（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.

本题主要考查函数极限与复合函数极限的相关知识，解题的关键在于根据函数极限的定义和性质，对每个命题逐一进行分析判断。

命题①

若$\lim_{x \to 0}f(x)=a$，且$\lim_{x \to 0}\varphi(x)=0$，要使$\lim_{x \to 0}f[\varphi(x)]=a$成立，需要满足$f(x)$在$x = 0$处连续。
例如，设$f(x)=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$，$\varphi(x)=x$，此时$\lim_{x \to 0}f(x)=1$，$\lim_{x \to 0}\varphi(x)=0$，但$f[\varphi(x)]=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$，$\lim_{x \to 0}f[\varphi(x)] = 1\neq f(0)$，所以该命题错误。

命题②

因为$f(x)$在$x = 0$处连续，根据函数在某点连续的定义可知$\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)$。
又已知$\lim_{x \to 0}\varphi(x)=0$，令$t = \varphi(x)$，当$x \to 0$时，$t \to 0$，那么$\lim_{x \to 0}f[\varphi(x)]=\lim_{t \to 0}f(t)=f(0)$，所以该命题正确。

命题③

已知$\lim_{x \to 0}\frac{\varphi(x)}{x}=1$，根据极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，当$0\lt|x|\lt\delta$时，有$\left|\frac{\varphi(x)}{x}-1\right|\lt\varepsilon$，即$| \varphi(x) - x|\lt|x|\varepsilon$。
这表明当$x \to 0$时，$\varphi(x)$与$x$是等价无穷小，所以$\lim_{x \to 0}\varphi(x)=0$。
又因为$\lim_{x \to 0}f(x)=a$，令$t = \varphi(x)$，当$x \to 0$时，$t \to 0$，则$\lim_{x \to 0}f[\varphi(x)]=\lim_{t \to 0}f(t)=a$，所以该命题正确。

命题④

仅知道$\lim_{x \to 0}f(x)=a$和$\lim_{x \to 0}\frac{\varphi(x)}{x}$存在，不能得出$\lim_{x \to 0}\varphi(x)=0$。
例如，设$f(x)=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$，$\varphi(x)=1$，此时$\lim_{x \to 0}f(x)=1$，$\lim_{x \to 0}\frac{\varphi(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$不存在，若$\varphi(x)=x + 1$，$\lim_{x \to 0}\frac{\varphi(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{x + 1}{x}$也不存在，若$\varphi(x)=x$，$\lim_{x \to 0}\frac{\varphi(x)}{x}=1$存在，但$f[\varphi(x)]=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$，$\lim_{x \to 0}f[\varphi(x)] = 1\neq f(0)$，所以该命题错误。

综上，真命题有②和③，共$2$个。