题目
对于二阶常系数线性齐次微分方程,总可以依据它特征方程的特征根写出两个线性无关的解.A. 正确B. 错误
对于二阶常系数线性齐次微分方程,总可以依据它特征方程的特征根写出两个线性无关的解.
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
A. 正确
解析
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为 \(ay'' + by' + cy = 0\),其中 \(a, b, c\) 是常数。其特征方程为 \(ar^2 + br + c = 0\)。根据特征方程的根的性质,可以确定微分方程的解。如果特征方程有两个不同的实根 \(r_1\) 和 \(r_2\),则微分方程的通解为 \(y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\),其中 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。如果特征方程有一个重根 \(r\),则微分方程的通解为 \(y = (C_1 + C_2x)e^{rx}\)。如果特征方程有两个复根 \(r = \alpha \pm \beta i\),则微分方程的通解为 \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\)。在所有情况下,都可以找到两个线性无关的解。