2.函数 f(x)=2x^3-6x^2-18x-7 的单调递减区间是()A. (-∞,-1)B. [-1,3]C. (3,+∞)D. -3,1

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x - 7 的导数 f'(x)。根据导数的定义，我们有：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x - 7) \]
\[ f'(x) = 6x^2 - 12x - 18 \]

步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 f'(x) = 6x^2 - 12x - 18 的零点。这可以通过解方程 f'(x) = 0 来实现：
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
\[ (x + 1)(x - 3) = 0 \]
因此，零点为 x = -1 和 x = 3。

步骤 3：确定单调递减区间
为了确定函数的单调递减区间，我们需要分析导数 f'(x) 的符号。根据零点 x = -1 和 x = 3，我们可以将实数轴分为三个区间：(-∞, -1)，(-1, 3)，(3, +∞)。我们需要在每个区间内选择一个点来测试导数的符号。
- 在区间 (-∞, -1) 内，选择 x = -2，代入 f'(x) = 6x^2 - 12x - 18，得到 f'(-2) = 6(-2)^2 - 12(-2) - 18 = 24 + 24 - 18 = 30 > 0，因此 f'(x) > 0，函数在该区间内单调递增。
- 在区间 (-1, 3) 内，选择 x = 0，代入 f'(x) = 6x^2 - 12x - 18，得到 f'(0) = 6(0)^2 - 12(0) - 18 = -18 < 0，因此 f'(x) < 0，函数在该区间内单调递减。
- 在区间 (3, +∞) 内，选择 x = 4，代入 f'(x) = 6x^2 - 12x - 18，得到 f'(4) = 6(4)^2 - 12(4) - 18 = 96 - 48 - 18 = 30 > 0，因此 f'(x) > 0，函数在该区间内单调递增。