题目
若复合梯形公式计算定积分int_(0)^1e^-xdx，要求截断误差的绝对值不超过0.5times10^-4，试问ngeq()。A. 41B. 42C. 43D. 40
若复合梯形公式计算定积分$\int_{0}^{1}e^{-x}dx$，要求截断误差的绝对值不超过$0.5\times10^{-4}$，试问$n\geq()$。
A. 41
B. 42
C. 43
D. 40
题目解答
答案
A. 41
解析
步骤 1：复合梯形公式的截断误差
复合梯形公式计算定积分的截断误差为：\[ E_T = -\frac{(b-a)^3}{12n^2} \sum_{i=1}^n f''(\xi_i) \] 其中，$f''(\xi_i)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的二阶导数在某点 $\xi_i$ 处的值。
步骤 2：计算 $f(x) = e^{-x}$ 的二阶导数
对于 $f(x) = e^{-x}$，其二阶导数为 $f''(x) = e^{-x}$。在区间 $[0,1]$ 上，$f''(x)$ 的最大值为 $e^0 = 1$。
步骤 3：计算误差上界
误差上界为：\[ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot 1 = \frac{1}{12n^2} \] 要求 $|E_T| \leq 0.5 \times 10^{-4}$，解得：\[ \frac{1}{12n^2} \leq 5 \times 10^{-5} \implies n^2 \geq \frac{10^4}{60} \approx 1666.67 \implies n \geq 40.82 \] 取整数 $n \geq 41$。
复合梯形公式计算定积分的截断误差为：\[ E_T = -\frac{(b-a)^3}{12n^2} \sum_{i=1}^n f''(\xi_i) \] 其中，$f''(\xi_i)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的二阶导数在某点 $\xi_i$ 处的值。
步骤 2：计算 $f(x) = e^{-x}$ 的二阶导数
对于 $f(x) = e^{-x}$，其二阶导数为 $f''(x) = e^{-x}$。在区间 $[0,1]$ 上，$f''(x)$ 的最大值为 $e^0 = 1$。
步骤 3：计算误差上界
误差上界为：\[ |E_T| \leq \frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot 1 = \frac{1}{12n^2} \] 要求 $|E_T| \leq 0.5 \times 10^{-4}$，解得：\[ \frac{1}{12n^2} \leq 5 \times 10^{-5} \implies n^2 \geq \frac{10^4}{60} \approx 1666.67 \implies n \geq 40.82 \] 取整数 $n \geq 41$。