题目
19.设 sim U(1,6), 求方程 ^2+kx+1=0 有实根的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 ${x}^{2}+kx+1=0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta \geqslant 0$。对于这个方程，判别式为 $\Delta = k^2 - 4$。因此，我们需要 $k^2 - 4 \geqslant 0$，即 $k^2 \geqslant 4$。
步骤 2：求解不等式 $k^2 \geqslant 4$
解不等式 $k^2 \geqslant 4$，得到 $k \geqslant 2$ 或 $k \leqslant -2$。由于 $k$ 的取值范围是 $[1, 6]$，因此我们只考虑 $k \geqslant 2$ 的部分。
步骤 3：计算概率
$K$ 服从均匀分布 $U(1,6)$，因此 $K$ 在区间 $[1,6]$ 上的取值是等可能的。求 $K$ 在区间 $[2,6]$ 上的概率，即求 $K$ 在 $[2,6]$ 上的长度与 $[1,6]$ 上的长度之比。$[2,6]$ 的长度为 $6-2=4$，$[1,6]$ 的长度为 $6-1=5$。因此，所求概率为 $\frac{4}{5}$。
方程 ${x}^{2}+kx+1=0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta \geqslant 0$。对于这个方程，判别式为 $\Delta = k^2 - 4$。因此，我们需要 $k^2 - 4 \geqslant 0$，即 $k^2 \geqslant 4$。
步骤 2：求解不等式 $k^2 \geqslant 4$
解不等式 $k^2 \geqslant 4$，得到 $k \geqslant 2$ 或 $k \leqslant -2$。由于 $k$ 的取值范围是 $[1, 6]$，因此我们只考虑 $k \geqslant 2$ 的部分。
步骤 3：计算概率
$K$ 服从均匀分布 $U(1,6)$，因此 $K$ 在区间 $[1,6]$ 上的取值是等可能的。求 $K$ 在区间 $[2,6]$ 上的概率，即求 $K$ 在 $[2,6]$ 上的长度与 $[1,6]$ 上的长度之比。$[2,6]$ 的长度为 $6-2=4$，$[1,6]$ 的长度为 $6-1=5$。因此，所求概率为 $\frac{4}{5}$。