题目
三、(本题20分)设f(x)是 [ 0,+infty ) 上非负可导函数, (0)=0, '(x)leqslant dfrac (1)(2),-|||-假设 (int )_(0)^+infty f(x)dx 收敛.求证:对任意 gt 1, (int )_(0)^+infty (f)^alpha (x)dx 也收敛,并且-|||-(int )_(0)^+infty (f)^x(x)dxleqslant (({int )_(0)^+infty f(x)dx)}^beta . =dfrac (alpha +1)(2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $g(t) = \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta} - \int_{0}^{t} f^{\alpha}(x) \, dx$，其中 $\beta = \frac{\alpha + 1}{2}$。这个函数将帮助我们证明积分的收敛性以及不等式。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 $g(t)$ 的导数，得到 $g'(t) = f(t) \left[ \beta \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 1} - f^{\alpha - 1}(t) \right]$。这个导数将帮助我们分析 $g(t)$ 的单调性。
步骤 3：定义另一个辅助函数
定义另一个辅助函数 $h(t) = \beta \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 1} - f^{\alpha - 1}(t)$。这个函数将帮助我们证明 $g'(t) \geq 0$。
步骤 4：计算 $h(t)$ 的导数
计算 $h(t)$ 的导数，得到 $h'(t) = f(t) \left[ \beta (\beta - 1) \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 2} - (\alpha - 1) f^{\alpha - 2}(t) \right]$。这个导数将帮助我们分析 $h(t)$ 的单调性。
步骤 5：证明 $h(t) \geq 0$
由于 $f(0) = 0$，$h(0) = 0$。又因为 $f'(x) \leq \frac{1}{2}$，所以 $f(x) \leq \frac{x}{2}$。因此，$h'(t) \geq 0$，从而 $h(t) \geq 0$。这表明 $g'(t) \geq 0$，即 $g(t)$ 是非减函数。
步骤 6：证明 $g(t) \geq 0$
由于 $g(0) = 0$，$g(t)$ 是非减函数，所以 $g(t) \geq 0$。这表明 $\int_{0}^{t} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta}$。
步骤 7：证明积分的收敛性
由于 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，所以 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx$ 也收敛。这是因为 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$，而 $\left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$ 是有限的。
步骤 8：证明不等式
由于 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$，所以 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\frac{\alpha + 1}{2}}$。由于 $\alpha > 1$，所以 $\frac{\alpha + 1}{2} > 1$，从而 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{3}$。
定义辅助函数 $g(t) = \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta} - \int_{0}^{t} f^{\alpha}(x) \, dx$，其中 $\beta = \frac{\alpha + 1}{2}$。这个函数将帮助我们证明积分的收敛性以及不等式。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 $g(t)$ 的导数，得到 $g'(t) = f(t) \left[ \beta \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 1} - f^{\alpha - 1}(t) \right]$。这个导数将帮助我们分析 $g(t)$ 的单调性。
步骤 3：定义另一个辅助函数
定义另一个辅助函数 $h(t) = \beta \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 1} - f^{\alpha - 1}(t)$。这个函数将帮助我们证明 $g'(t) \geq 0$。
步骤 4：计算 $h(t)$ 的导数
计算 $h(t)$ 的导数，得到 $h'(t) = f(t) \left[ \beta (\beta - 1) \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta - 2} - (\alpha - 1) f^{\alpha - 2}(t) \right]$。这个导数将帮助我们分析 $h(t)$ 的单调性。
步骤 5：证明 $h(t) \geq 0$
由于 $f(0) = 0$，$h(0) = 0$。又因为 $f'(x) \leq \frac{1}{2}$，所以 $f(x) \leq \frac{x}{2}$。因此，$h'(t) \geq 0$，从而 $h(t) \geq 0$。这表明 $g'(t) \geq 0$，即 $g(t)$ 是非减函数。
步骤 6：证明 $g(t) \geq 0$
由于 $g(0) = 0$，$g(t)$ 是非减函数，所以 $g(t) \geq 0$。这表明 $\int_{0}^{t} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{t} f(x) \, dx \right)^{\beta}$。
步骤 7：证明积分的收敛性
由于 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，所以 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx$ 也收敛。这是因为 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$，而 $\left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$ 是有限的。
步骤 8：证明不等式
由于 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\beta}$，所以 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{\frac{\alpha + 1}{2}}$。由于 $\alpha > 1$，所以 $\frac{\alpha + 1}{2} > 1$，从而 $\int_{0}^{+\infty} f^{\alpha}(x) \, dx \leq \left( \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \right)^{3}$。