"设a、b、c满足a+b+c=0.(1)证明：acdot b+bcdot c+ccdot a=-(1)/(2)(|a|^2+|b|^2+|c|^2);(2)若还满足|a|=3,|b|=4,|c|=5,求|atimes b+btimes c+ctimes a|."

考查要点：本题主要考查向量的点积和叉积运算，以及利用已知条件进行代数变形的能力。

解题思路：

1. 第（1）题：利用向量和的平方展开公式，结合已知条件$a+b+c=0$，将点积表达式转化为模长平方的形式。
2. 第（2）题：通过$a+b+c=0$将$c$用$a$和$b$表示，代入叉积表达式并化简，结合第（1）题结论判断$a$与$b$垂直，最终计算模长。

破题关键：

• 第（1）题：对$a+b+c=0$两边平方，展开后分离目标表达式。
• 第（2）题：利用叉积的线性性质和反交换律化简表达式，结合垂直关系简化计算。

第（1）题

平方展开

由$a + b + c = 0$，两边平方得：
$(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0$
展开左边：
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$

解方程

移项得：
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)$
两边除以2：
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{1}{2}(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)$

第（2）题

代入$c = -a - b$

由$a + b + c = 0$，得$c = -a - b$。计算各叉积：

1. $b \times c$：
   $b \times c = b \times (-a - b) = -b \times a - b \times b = a \times b \quad (\text{因} \ b \times b = 0)$
2. $c \times a$：
   $c \times a = (-a - b) \times a = -a \times a - b \times a = a \times b \quad (\text{因} \ a \times a = 0)$

合并表达式

$a \times b + b \times c + c \times a = a \times b + a \times b + a \times b = 3a \times b$

计算模长

由第（1）题结论，$a \cdot b = 0$，故$a \perp b$，则：
$|a \times b| = |a||b|\sin\theta = 3 \times 4 \times 1 = 12$
最终结果：
$|3a \times b| = 3 \times 12 = 36$