5.试判断下列函数的可微性和解析性:-|||-(1) (z)=x(y)^2+i(x)^2y ;-|||-(2) (z)=(x)^2+i(y)^2 ;-|||-(3) (z)=2(x)^3+3i(y)^3 ;-|||-(4) (z)=(x)^3-3x(y)^2+i(3(x)^2y-(y)^3) -

步骤 1：定义可微性和解析性
函数 $f(z)$ 在复平面上的某点 $z_0$ 可微，如果在该点的邻域内，函数的增量 $\Delta f$ 可以表示为 $\Delta f = f'(z_0)\Delta z + o(\Delta z)$，其中 $o(\Delta z)$ 是比 $\Delta z$ 更高阶的无穷小量。函数 $f(z)$ 在复平面上的某点 $z_0$ 解析，如果它在该点的某个邻域内处处可微。

步骤 2：应用柯西-黎曼方程
对于函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，如果它在某点可微，则必须满足柯西-黎曼方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
同时，$u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 必须在该点连续可微。

步骤 3：分析每个函数
(1) $f(z) = xy^2 + i x^2 y$
$$
u(x, y) = xy^2, \quad v(x, y) = x^2 y
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x^2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 2xy, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2xy
$$
柯西-黎曼方程只在原点 $(0, 0)$ 处满足，因此 $f(z)$ 只在原点可微。

(2) $f(z) = x^2 + i y^2$
$$
u(x, y) = x^2, \quad v(x, y) = y^2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2y
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0
$$
柯西-黎曼方程只在直线 $y = x$ 上满足，因此 $f(z)$ 只在直线 $y = x$ 上可微。

(3) $f(z) = 2x^3 + 3i y^3$
$$
u(x, y) = 2x^3, \quad v(x, y) = 3y^3
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 6x^2, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 9y^2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0
$$
柯西-黎曼方程只在 $\sqrt{2}x \pm \sqrt{3}y = 0$ 上满足，因此 $f(z)$ 只在 $\sqrt{2}x \pm \sqrt{3}y = 0$ 上可微。

(4) $f(z) = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)$
$$
u(x, y) = x^3 - 3xy^2, \quad v(x, y) = 3x^2y - y^3
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 6xy
$$
柯西-黎曼方程处处满足，因此 $f(z)$ 处处可微。