题目

(1) 设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 B^T A B 也是对称矩阵；(2) 设 A, B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB = BA；(3) 设 A 为 n 阶方阵，若满足 A^T = -A，即 a_(ij) = -a_(ji) (i, j = 1, 2, ..., n)，则称 A 为反对称矩阵（亦称反称矩阵）。设 A, B 都是 n 阶反对称矩阵，证明 AB 是反对称矩阵的充分必要条件是 AB = -BA.

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 为对称矩阵，证明 $B^T A B$ 也是对称矩阵；

(2) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶对称矩阵，证明 $AB$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $AB = BA$；

(3) 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若满足 $A^T = -A$，即 $a_{ij} = -a_{ji}$ ($i, j = 1, 2, \cdots, n$)，则称 $A$ 为反对称矩阵（亦称反称矩阵）。设 $A, B$ 都是 $n$ 阶反对称矩阵，证明 $AB$ 是反对称矩阵的充分必要条件是 $AB = -BA$.

题目解答

答案

(1) 由 $ A^T = A $，得
$(B^T A B)^T = B^T A^T (B^T)^T = B^T A B,$
故 $ B^T A B $ 对称。

(2) $ AB $ 对称 $\Leftrightarrow (AB)^T = AB \Leftrightarrow B^T A^T = AB \Leftrightarrow BA = AB $。

(3) $ AB $ 反对称 $\Leftrightarrow (AB)^T = -AB \Leftrightarrow B^T A^T = -AB \Leftrightarrow BA = -AB $。

答案：
(1) $ B^T A B $ 对称；
(2) $ AB $ 对称的充要条件是 $ AB = BA $；
(3) $ AB $ 反对称的充要条件是 $ AB = -BA $。

$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) } B^T A B \text{ 对称} \\\text{(2) } AB \text{ 对称} \Leftrightarrow AB = BA \\\text{(3) } AB \text{ 反对称} \Leftrightarrow AB = -BA \\\end{array}}$

解析

本题主要考查矩阵的对称性、反对称性以及充分必要条件的证明，解题思路是根据矩阵转置的性质和已知条件进行推导。

(1)

本题考查矩阵的对称性证明。解题思路是根据矩阵转置的性质，对$(B^T A B)^T$进行化简，然后与$B^T A B$进行比较。

  • 已知$A$为对称矩阵，即$A^T = A$。
  • 对$(B^T A B)^T$进行化简：
    根据矩阵转置的性质$(AB)^T = B^T A^T$，可得$(B^T A B)^T = B^T A^T (B^T)^T$。
    又因为$A^T = A$，所以$B^T A^T (B^T)^T = B^T A B$。
  • 由此可得$(B^T A B)^T = B^T A B$，根据对称矩阵的定义：若矩阵$M$满足$M^T = M$，则称$M$为对称矩阵，所以$B^T A B$是对称矩阵。

(2)

本题考查矩阵的对称性以及充分必要条件的证明。解题思路是根据矩阵转置的性质，对$(AB)^T$进行化简，然后与$AB$进行比较，从而得到$AB$是对称矩阵的充分必要条件。

  • 若$AB$是对称矩阵，则$(AB)^T = AB$。
  • 根据矩阵转置的性质$(AB)^T = B^T A^T$，可得$B^T A^T = AB$。
  • 因为$A$，$B$都是对称矩阵，即$A^^T = A$，$B^T = B$，所以$B^T A^T = BA$，则$BA = AB$。
  • 反之，若$AB)^T = AB$，即$B^T A^T = AB$，因为$A^T = A$，$B^T = B$，所以$BA = AB$，则$AB$是对称矩阵。
  • 综上，$AB$是对称矩阵的充分必要条件是$AB = BA$。

(3)

本题考查矩阵的反对称性以及充分必要条件的证明。解题思路是根据矩阵转置的性质，对$(AB)^T$进行化简，然后与$-AB$进行比较，从而得到$AB$是反对称矩阵的充分必要条件。

  • 若$AB$是反对称矩阵，则$(AB)^T = -AB$。
  • 根据矩阵转置的性质$(AB)^T = B^T A^T$，可得$B^T A^T = -AB$。
  • 因为$AB)^T = B^T A^T$，且$A^T = -A$，$B^T = -B$，所以$B^T A^T = BA$，则$BA = -AB$。
  • 反之，若$BA = -AB$，则$(AB)^T = B^T A^T = -AB$，所以$AB$是反对称矩阵。
  • 综上，$AB$是反对称矩阵的充分必要条件是$AB = -BA$。