题目
曲线积分 oint_(L) 2y^2 cos(2xy), dx + sin(2xy), dy 的值（）A. 与曲线 L 的形状有关;B. 与曲线 L 的形状无关;C. 等于零;D. 等于 2pi.
曲线积分 $\oint_{L} 2y^2 \cos(2xy)\, dx + \sin(2xy)\, dy$ 的值（）
A. 与曲线 L 的形状有关;
B. 与曲线 L 的形状无关;
C. 等于零;
D. 等于 $2\pi$.
题目解答
答案
A. 与曲线 L 的形状有关;
解析
步骤 1：定义向量场
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q) = (2y^2 \cos(2xy), \sin(2xy))$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$，得到：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 4y \cos(2xy) - 4xy^2 \sin(2xy), \]
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2y \cos(2xy). \]
步骤 3：判断向量场是否保守
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场 $\mathbf{F}$ 不是保守场，因此积分值与路径有关。
步骤 4：应用格林定理
由格林定理，积分值为区域 $D$ 上的双重积分，表达式为：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2y \cos(2xy) + 4xy^2 \sin(2xy), \]
该表达式非零且依赖于路径，故积分值与路径形状有关。
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q) = (2y^2 \cos(2xy), \sin(2xy))$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$，得到：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 4y \cos(2xy) - 4xy^2 \sin(2xy), \]
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2y \cos(2xy). \]
步骤 3：判断向量场是否保守
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场 $\mathbf{F}$ 不是保守场，因此积分值与路径有关。
步骤 4：应用格林定理
由格林定理，积分值为区域 $D$ 上的双重积分，表达式为：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2y \cos(2xy) + 4xy^2 \sin(2xy), \]
该表达式非零且依赖于路径，故积分值与路径形状有关。