题目
设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A. 的列向量组线性相关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的行向量组线性无关
设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
A. 的列向量组线性相关
B. A的列向量组线性无关
C. A的行向量组线性相关
D. A的行向量组线性无关
题目解答
答案
A. 的列向量组线性相关
解析
步骤 1：齐次线性方程组的解
齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩小于n，即rank(A) < n。这意味着矩阵A的列向量组线性相关，因为如果列向量组线性无关，那么rank(A) = n，此时方程组只有零解。
步骤 2：矩阵的秩与向量组的线性相关性
矩阵A的秩rank(A)是矩阵A的列向量组的最大线性无关组的个数。如果rank(A) < n，那么矩阵A的列向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，即列向量组线性相关。
步骤 3：结论
综上所述，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的列向量组线性相关。
齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩小于n，即rank(A) < n。这意味着矩阵A的列向量组线性相关，因为如果列向量组线性无关，那么rank(A) = n，此时方程组只有零解。
步骤 2：矩阵的秩与向量组的线性相关性
矩阵A的秩rank(A)是矩阵A的列向量组的最大线性无关组的个数。如果rank(A) < n，那么矩阵A的列向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，即列向量组线性相关。
步骤 3：结论
综上所述，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的列向量组线性相关。