例10 求 lim _(xarrow infty )((1-dfrac {2)(x))}^x.

考查要点：本题主要考查“1的∞次方”型不定式极限的求解方法，需要学生掌握利用自然对数转化和等价无穷小替换的技巧。

解题核心思路：

1. 识别极限类型为“1的∞次方”型，即$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$的形式。
2. 通过取自然对数将指数转化为乘积，利用等价无穷小替换简化表达式。
3. 最终通过指数函数还原结果。

破题关键点：

• 正确应用等价无穷小：当$x \to \infty$时，$\ln(1 - \frac{2}{x}) \approx -\frac{2}{x}$。
• 标准极限公式：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$的灵活应用。

设原式为$y = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)^x$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$y$取自然对数：
$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln\left(1 - \dfrac{2}{x}\right)$

步骤2：等价无穷小替换

当$x \to \infty$时，$\dfrac{2}{x} \to 0$，利用等价无穷小$\ln(1 + h) \approx h$（当$h \to 0$时）：
$\ln\left(1 - \dfrac{2}{x}\right) \approx -\dfrac{2}{x}$

步骤3：计算极限

代入近似式：
$\ln y = \lim_{x \to \infty} x \cdot \left(-\dfrac{2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} (-2) = -2$

步骤4：还原指数形式

对等式两边取指数：
$y = e^{\ln y} = e^{-2}$