题目
设某微观粒子的总能量是它的静止能量的k倍，则其运动速度的大小为A. (c)/(k)sqrt(1-k^2)；B. (c)/(k-1)；C. (c)/(k)sqrt(k^2-1)；D. (c)/(k+1)sqrt(k(k+2))；
设某微观粒子的总能量是它的静止能量的$k$倍，则其运动速度的大小为
A. $\frac{c}{k}\sqrt{1-k^2}$；
B. $\frac{c}{k-1}$；
C. $\frac{c}{k}\sqrt{k^2-1}$；
D. $\frac{c}{k+1}\sqrt{k(k+2)}$；
题目解答
答案
C. $\frac{c}{k}\sqrt{k^2-1}$；
解析
步骤 1：理解题目
题目给出微观粒子的总能量是它的静止能量的$k$倍，要求我们求出其运动速度的大小。根据相对论，微观粒子的总能量$E$和静止能量$E_0$的关系是$E = \gamma E_0$，其中$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$是洛伦兹因子，$v$是粒子的速度，$c$是光速。
步骤 2：建立方程
根据题目条件，$E = kE_0$，代入总能量和静止能量的关系式，得到$kE_0 = \gamma E_0$，即$k = \gamma$。因此，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = k$。
步骤 3：求解速度
从$\gamma = k$出发，解出$v$。首先，$k = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，两边平方得到$k^2 = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$，即$1-\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{k^2}$，从而$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2}$，因此$v^2 = c^2 \frac{k^2-1}{k^2}$，最后$v = c \sqrt{\frac{k^2-1}{k^2}} = \frac{c}{k}\sqrt{k^2-1}$。
题目给出微观粒子的总能量是它的静止能量的$k$倍，要求我们求出其运动速度的大小。根据相对论，微观粒子的总能量$E$和静止能量$E_0$的关系是$E = \gamma E_0$，其中$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$是洛伦兹因子，$v$是粒子的速度，$c$是光速。
步骤 2：建立方程
根据题目条件，$E = kE_0$，代入总能量和静止能量的关系式，得到$kE_0 = \gamma E_0$，即$k = \gamma$。因此，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = k$。
步骤 3：求解速度
从$\gamma = k$出发，解出$v$。首先，$k = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，两边平方得到$k^2 = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$，即$1-\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{k^2}$，从而$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2}$，因此$v^2 = c^2 \frac{k^2-1}{k^2}$，最后$v = c \sqrt{\frac{k^2-1}{k^2}} = \frac{c}{k}\sqrt{k^2-1}$。